Verteilungsfreiheit

Konzept der mathematischen Statistik

Die Verteilungsfreiheit ist ein Konzept der mathematischen Statistik, welches formalisiert, dass aus gewissen Mengensystemen oder mittels gewisser messbarer Abbildungen keine Informationen extrahiert werden können, sie sind also uninformativ. Somit ist die Verteilungsfreiheit das Gegenstück zur Suffizienz, die formalisiert, dass alle relevanten Daten extrahiert werden können. Wie auch bei der Suffizienz unterscheidet man in verteilungsfreie σ-Algebren und verteilungsfreie Statistiken.

Definition

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Gegeben sei ein statistisches Modell   mit Verteilungsklasse  .

Verteilungsfreie σ-Algebra

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Ist   eine σ-Algebra, so heißt   eine verteilungsfreie σ-Algebra bezüglich  , wenn

 

gilt.

Bezeichnet man mit   die Einschränkung des Definitionsbereiches des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die σ-Algebra  , so gilt für eine Verteilungsfreie σ-Algebra bezüglich   also

 .

Die Wahrscheinlichkeitsmaße lassen sich also nicht anhand ihrer Werte auf   unterscheiden.

Verteilungsfreie Statistik

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Eine Statistik

 

heißt genau dann eine verteilungsfreie Statistik, wenn die von   erzeugte σ-Algebra   eine verteilungsfreie σ-Algebra bezüglich   ist. Äquivalent dazu ist, dass die von der Statistik erzeugten Bildmaße von   alle identisch sind.

Wichtige Aussagen

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Die drei Sätze von Basu stellen einen Zusammenhang her zwischen den Begriffen der Verteilungsfreiheit, der Suffizienz und der Vollständigkeit. Verkürzt lauten sie:

  1. Eine suffiziente beschränkt vollständige Statistik und eine verteilungsfreie Statistik sind für alle   stochastisch unabhängig.
  2. Sind   für alle   voneinander unabhängige σ-Algebren und ist   suffizient, so ist (unter gewissen Zusatzannahmen)   verteilungsfrei.
  3. Seien die σ-Algebren   stochastisch unabhängig für alle   und sei   verteilungsfrei. Ist dann  , so ist   suffizient.

Verallgemeinerungen

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Eine Verallgemeinerung einer verteilungsfreien Statistik ist eine Pivotstatistik. Diese finden bei der Konstruktion von Bereichsschätzern und somit bei der Bestimmung von Konfidenzbereichen Anwendung.

Literatur

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