Satz von Weierstraß-Casorati

mathematischer Satz

Der Satz von Weierstraß-Casorati (nach Karl Weierstraß und Felice Casorati) ist ein Satz aus der Funktionentheorie und beschäftigt sich mit dem Verhalten holomorpher Funktionen in Umgebungen wesentlicher Singularitäten. Er hat aber eine schwächere Aussage als die Sätze von Picard.

Der SatzBearbeiten

Sei   ein Punkt eines Gebietes  .   ist eine wesentliche Singularität der auf   holomorphen Funktion   genau dann, wenn für jede in   liegende Umgebung   von   das Bild   dicht in   liegt.

Anders formuliert: Eine holomorphe Funktion hat genau dann in   eine wesentliche Singularität, wenn in jeder (noch so kleinen) Umgebung von   jede komplexe Zahl beliebig genau als ein Bild von   approximiert werden kann.

BeweisBearbeiten

Wir zeigen die Kontraposition der Aussage:   ist genau dann keine wesentliche Singularität, wenn es eine Umgebung   von   gibt und eine nichtleere offene Menge  , so dass   disjunkt zu   ist.

Sei zunächst   keine wesentliche Singularität, also entweder eine hebbare Singularität oder eine Polstelle. Im hebbaren Fall ist (die stetige Fortsetzung von)   in einer Umgebung   von   beschränkt, etwa   für alle  . Dann ist   disjunkt zu  . Hat   dagegen in   eine Polstelle, so ist   für eine natürliche Zahl   und ein holomorphes   mit  . In einer hinreichend kleinen  -Umgebung   von   gilt   und folglich  , d. h.   ist disjunkt zu  .

Sei jetzt umgekehrt   eine Umgebung von   und   offen, nicht leer und disjunkt zu  . Dann enthält   eine offene Kreisscheibe, es gibt also eine Zahl   und ein   mit   für alle  . Es folgt, dass   auf   durch   beschränkt ist. Nach dem riemannschen Hebbarkeitssatz ist   zu einer auf ganz   holomorphen Funktion   fortsetzbar. Da   nicht die Nullfunktion sein kann, gibt es ein   und holomorphes   mit   und  . In einer möglicherweise kleineren Umgebung   von   ist auch   holomorph. Dies bedeutet

  für alle  .

Die rechte Seite ist holomorph, also hat   in   allenfalls eine Polstelle vom Grad  .

LiteraturBearbeiten