Satz von Mackey-Arens

mathematischer Satz
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Der Satz von Mackey-Arens (nach George Mackey und Richard Friederich Arens) ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis, genauer aus der Theorie der lokalkonvexen Räume. Der Satz von Mackey-Arens behandelt die Frage, in welchen Topologien bestimmte wichtige Abbildungen stetig sind.

Genauer sei ein lokalkonvexer Raum mit einer Topologie gegeben. Dann betrachtet man den Dualraum E' der bezüglich stetigen, linearen Funktionale auf . Die Frage ist nun, welche weiteren lokalkonvexen Topologien auf zu denselben stetigen, linearen Funktionalen wie führen. Solche Topologien heißen zulässig.

Es stellt sich heraus, dass es eine schwächste und eine stärkste zulässige Topologie gibt.

Die schwächste zulässige Topologie

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Die schwächste zulässige Topologie, d. h. die schwächste Topologie, bzgl. der alle Funktionale aus E' stetig sind, ist die schwache Topologie  . Es ist klar, dass es keine zulässige Topologie geben kann, die echt schwächer ist, und es ist nicht schwer zu zeigen, dass   selbst zulässig ist.

Die Mackey-Topologie

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Der Dualraum E' trägt die schwach-*-Topologie, das ist die schwächste Topologie auf E', die alle Abbildungen der Form  , wobei  , stetig macht. Sei   die Menge aller absolutkonvexen und schwach-*-kompakten Mengen  . Zu   sei   die durch   definierte Halbnorm auf  . Dann definiert die Menge   eine lokalkonvexe Topologie auf  , die man die Mackey-Topologie auf   nennt und mit   bezeichnet. Identifiziert man   mit  , d. h. mit einer Funktion auf E', so ist die Mackey-Topologie nichts anderes als die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf absolutkonvexen, schwach-*-kompakten Mengen.

Es zeigt sich nun, dass man mit der Mackey-Topologie die zulässigen Topologien charakterisieren kann.

Satz von Mackey-Arens

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  • Ist   ein lokalkonvexer Raum, so ist eine lokalkonvexe Topologie   auf   genau dann zulässig, wenn  .

Nach diesem Satz ist die Mackey-Topologie die stärkste zulässige Topologie auf  , die Existenz einer solchen Topologie ist nicht offensichtlich! Die Ausgangstopologie von   ist definitionsgemäß selbst zulässig, liegt also ebenfalls zwischen   und  . Stimmt die Ausgangstopologie von   mit der Mackey-Topologie überein, so nennt man   einen Mackey-Raum. Man kann zeigen, dass quasitonnelierte Räume stets Mackey-Räume sind. Insbesondere sind daher alle tonnelierten und alle bornologischen Räume Mackey-Räume.

Satz von Mackey

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Eine Menge   eines lokalkonvexen Raums heißt beschränkt, wenn es zu jeder Nullumgebung   ein   gibt mit  . Die Beschränktheit hängt damit von der Topologie ab. Daher ist der folgende Satz von Mackey bemerkenswert:

Für eine Teilmenge   eines lokalkonvexen Raumes sind äquivalent:

  •   ist beschränkt bzgl. der Topologie auf  .
  •   ist bezüglich jeder zulässigen Topologie beschränkt.
  •   ist bezüglich   beschränkt.
  •   ist bezüglich   beschränkt.

Bedeutung

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Der Sätze von Mackey und Mackey-Arens und die Mackey-Topologie spielen eine wichtige Rolle in der Dualitätstheorie lokalkonvexer Räume. Sie finden u. a. Anwendung in der Charakterisierung der Halbreflexivität. Weitere Folgerungen sind Sätze der Art

In den mathematischen Wirtschaftswissenschaften treten sogenannte Präferenz- oder Nutzenfunktionen auf gewissen  -Räumen auf, auf denen man die schwach-*-Topologie der  - -Dualität betrachtet. Diese Nutzenfunktionen sind im Allgemeinen unstetig bzgl. der schwach-*-Topologie aber stetig bzgl. der feineren Mackey-Topologie  .

Literatur

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  • K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
  • R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8