Satz von Fischer-Riesz

mathematischer Satz

Der Satz von Fischer-Riesz ist eine Aussage aus der Funktionalanalysis. Ernst Sigismund Fischer und Frigyes Riesz bewiesen im Jahr 1907[1] unabhängig voneinander diesen Satz. Aus diesem Grund trägt die Aussage ihre Namen. In der Literatur finden sich heute unterschiedliche Sätze, die ihren Namen tragen und zum Teil Verallgemeinerungen dieses Satzes sind.

Klassischer Satz von Fischer-RieszBearbeiten

Fischer und Riesz bewiesen die folgende Aussage. Der Raum   der quadrat-integrierbaren Funktionen ist isometrisch isomorph zum Folgenraum   der quadrat-summierbaren Funktionen also

 

Dies kann man auch weniger abstrakt in der Sprache der reellen Analysis formulieren. So ist eine messbare Funktion genau dann in  , wenn ihre Fourier-Reihe bezüglich der  -Norm konvergiert. Im Folgenden wird der  -Raum von dem Intervall   gebildet, dies erspart Normierungen, jedoch ist die Aussage auch für alle anderen kompakten Intervalle richtig.

Die am  -ten Glied abgebrochene Fourier-Reihe einer quadrat-integrierbaren Funktion   ist

 

wobei   der n-te Koeffizient der Reihe ist, welche durch

 

gegeben ist. Für eine quadrat-integrierbare Funktion   gilt also dann

 

Der Isomorphismus zwischen   und   ist also die Transformation in eine Fourier-Reihe.

Verallgemeinerter Satz von Fischer-RieszBearbeiten

Oftmals findet man auch folgende, allgemeinere Aussage unter dem Namen Satz von Fischer-Riesz.

AussageBearbeiten

Ist   ein Hilbertraum und   eine Orthonormalbasis von  , so ist die Abbildung

 

ein isometrischer Isomorphismus.

FolgerungenBearbeiten

  • Seien   und   zwei Indexmengen. Zwei Hilberträume   und   mit Orthonormalbasen   und   sind isometrisch isomorph, wenn   und   die gleiche Kardinalität haben.
  • Jedes Orthonormalsystem in einem Hilbertraum kann zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden (was sich unmittelbar aus dem Lemma von Zorn ergibt), insbesondere besitzt jeder Hilbertraum, da die leere Menge stets ein Orthonormalsystem ist, eine Orthonormalbasis  . Somit ist nach dem Satz von Fischer-Riesz jeder Hilbertraum isomorph zum Raum  .
  • Anders ausgedrückt: Die volle Unterkategorie der Räume   für beliebige Mengen   in der Kategorie der Hilberträume mit geeigneten Morphismen (lineare Operatoren, beschränkte lineare Operatoren, lineare Kontraktionen) ist äquivalent zu dieser.

Vollständigkeit der Lp-RäumeBearbeiten

Die Aussage, dass die  -Räume für   mit der Norm

 

Banachräume, also insbesondere vollständig sind, wird auch oftmals als Satz von Fischer-Riesz bezeichnet.

Für den Fall   und   als Lebesgue-Maß folgt dies nämlich aus dem Beweis des (klassischen) Satzes von Fischer-Riesz. So konvergiert die Folge   genau dann in  , wenn   eine  -Funktion ist.

Für   ergibt sich die Vollständigkeit des  -Raumes beispielsweise wegen dessen Reflexivität, die aus der Dualität von Lp-Räumen resultiert. Jeder reflexive normierte Raum ist ein Banachraum, denn er ist nach Definition isomorph zum vollständigen Bidualraum.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Sur les systèmes orthogonaux de fonctions, C. R. Paris 144 (1907) 615-619

LiteraturBearbeiten