In der Geometrie bezeichnet der Satz von Euler, benannt nach dem im 18. Jahrhundert lebenden Leonhard Euler, eine Formel für die Entfernung der Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks.

Satz von Euler:

Diese Beziehung wird auch oft mit Hilfe von Brüchen in der folgenden äquivalenten Gleichung dargestellt:

Dabei bezeichnet den Umkreisradius und den Inkreisradius. Aus dem Satz folgt unmittelbar die eulersche Ungleichung:

 
Skizze zum Beweis

Es seien   der Umkreismittelpunkt und   der Inkreismittelpunkt des Dreiecks  . Die Gerade   schneidet als Winkelhalbierende nach dem Südpolsatz den Umkreis in einem Punkt  , der auch auf der zugehörigen Mittelsenkrechten liegt. Der zweite Schnittpunkt dieser Mittelsenkrechten ( ) mit dem Umkreis sei  . Bezeichnet man den Fußpunkt des von   aus gefällten Lotes zu   mit  , dann gilt  .

Wegen Übereinstimmung in zwei Winkeln (  (Umfangswinkelsatz) und   (Lot und Satz des Thales)) sind die Dreiecke   und   zueinander ähnlich. Daher gilt   und weiter  . Damit ist gezeigt:

 

Verbindet man   mit  , so kann man den Außenwinkelsatz verwenden, nach dem ein Außenwinkel ( ) eines Dreiecks ( ) so groß ist wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel:

 

Außerdem folgt mithilfe des Umfangswinkelsatzes

 ,

woraus sich   ergibt. Dreieck   ist also gleichschenklig; es gilt  . Aus dem schon Bewiesenen erhält man

 .

Nun seien   und   die Schnittpunkte der Geraden   mit dem Umkreis. Anwendung des Sehnensatzes ergibt

 .

Die Streckenlängen auf der linken Seite lassen sich durch den Umkreisradius   und die Entfernung   ausdrücken:

 

Durch eine kurze Umformung erhält man die Behauptung:

 
 

Verwandte Aussagen

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Ist   der Radius des zur Seite   gehörigen Ankreises, so gilt für die Entfernung   zwischen dem Mittelpunkt dieses Ankreises und dem Umkreismittelpunkt:

 

Entsprechendes gilt für die beiden anderen Ankreise.

Der Satz von Fuss liefert eine zum Satz von Euler analoge Aussage für Sehnentangentenvierecke.

Geschichte

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Der Satz ist nach Euler benannt, der ihn 1765 publizierte. Der englische Landvermesser William Chapple hatte allerdings dasselbe Resultat bereits 1746 in einer englischen Zeitschrift veröffentlicht.

Die eulersche Ungleichung in der absoluten Geometrie

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Die eulersche Ungleichung in der Form, die behauptet, dass das Maximum der Inkreisradien aller Dreiecke, die in einem gegebenen Kreis eingeschrieben sind, nur beim gleichseitigen Dreieck erreicht wird, ist gültig in der absoluten Geometrie.[1]

Siehe auch

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Literatur

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  • Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45306-3, S. 137–140 (Auszug (Google))
  • Gerry Leversha, G. C. Smith: Euler and Triangle Geometry. In: The Mathematical Gazette, Vol. 91, No. 522, Nov., 2007, S. 436–452 (JSTOR:40378417)
  • Roger B. Nelsen: Euler’s Triangle Inequality via Proofs without Words. In: Mathematics Magazine, Vol. 81, No. 1, Feb., 2008, S. 58–61 (JSTOR:27643082)
  • Victor Pambuccian, Celia Schacht: Euler's inequality in absolute geometry. In: Journal of Geometry, Vol. 109, Art. 8, 2018, S. 1–11

Einzelnachweise

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  1. Victor Pambuccian, Celia Schacht: Euler's inequality in absolute geometry. In: Journal of Geometry Bd. 109, 2018, Art. 8, S. 1–11.