Der Satz von Dembowski-Wagner ist eines der klassischen Theoreme aus dem mathematischen Teilgebiet der Endlichen Geometrie, welches im Übergangsfeld zwischen Kombinatorik und endlicher Geometrie liegt. Der Satz geht auf die beiden Mathematiker Peter Dembowski und Ascher Wagner[1] zurück und formuliert eine Anzahl von Kriterien, nach denen ein symmetrischer Blockplan als projektiver Raum aufgefasst werden kann.[2][3][4]

Formulierung des Satzes

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Gegeben sei ein symmetrischer  -Blockplan   mit  , wobei die Inzidenzrelation mit der Elementrelation identisch sei.[5] Für die Ordnung   von   seien dabei   und  .

Dann sind gleichwertig:

(B1)   ist einer Inzidenzstruktur isomorph, welche von den Punkten und den Hyperebenen eines endlichen projektiven Raums zusammen mit der Elementrelation als Inzidenzrelation gebildet wird, wobei die  -Blöcke und die Hyperebenen einander entsprechen.
(B2) Jede Gerade von   schneidet jeden Block.
(B3) Auf jeder Geraden von   liegen exakt   Punkte.
(B4) Je drei nicht kollineare Punkte von   inzidieren stets mit derselben Anzahl von Blöcken.
(B5) Jede Ebene von   ist in genau   Blöcken enthalten.

Erläuterungen und Anmerkungen

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  1. In einem projektiven Raum ist eine Hyperebene ein maximaler echter Teilraum. Eine Hyperebene zeichnet sich also dadurch aus, dass sie allein in dem projektiven Raum selbst als Teilraum enthalten, jedoch nicht mit diesem identisch ist und dabei von keinem dritten Teilraum umfasst wird.
  2. Eine Gerade   von   ist eine echte Teilmenge von  , welche aus zwei verschiedenen Punkten   von   entsteht. Dazu wird über alle   Blöcke, welche sowohl   als auch   enthalten, die Schnittmenge gebildet. Man nennt   die Gerade durch   und   und schreibt   o. ä. Man sagt dann auch, dass   und   auf der Geraden   liegen.
  3. Man sagt, eine Gerade   schneidet einen Block  , wenn ein mit   inzidenter Punkt existiert, welcher auf der Geraden   liegt; m. a. W. wenn   ist.
  4. Kollineare Punkte zeichnen sich dadurch aus, dass sie auf einer (dann notwendigerweise eindeutig bestimmten) Geraden liegen.
  5. Jede  -Ebene   entsteht aus drei verschiedenen nicht kollinearen Punkten   von  . Solche drei Punkte bilden dann ein Dreieck. Genauso wie bei den Geraden wird für dieses Dreieck die Schnittmenge all derjenigen Blöcke gebildet, welche es enthalten und man erhält die von   aufgespannte Ebene  . Man schreibt dafür kurz   o. ä.
  6. Die oben angegebenen Anzahlen finden sich in der Literatur auch in anderer, aber gleichwertiger Darstellung. Wegen der Parameterbedingungen und der Symmetrieeigenschaft von   gilt u. a.:
    1.  .
    2.  .
    3.  .
  7. Aus der obigen Darstellung ergibt sich, dass   ein Teiler von   ist und dass aus Ganzzahligkeitsgründen auf jeder Geraden mindestens   verschiedene Punkte liegen.
  8. Bei manchen Autoren wird unter dem Satz von Dembowski-Wagner auch   zugelassen.[6][7] In dieser Version des Satzes wird die Möglichkeit mit abgedeckt, dass   einer projektiven Ebene isomorph ist. Die in dieser Version des Satzes genannten Bedingungen sind im Kern die obigen ohne (B5). Jedoch ist der Fall   in der Originalarbeit von Dembowski und Wagner ausdrücklich ausgenommen.[8]
  9. In der Originalarbeit von Dembowski und Wagner werden noch weitere äquivalente Bedingungen genannt, unter denen ein symmetrischer Blockplan als projektiver Raum aufgefasst werden kann. Diese werden jedoch in der aktuellen Literatur oft gar nicht oder nur am Rande erwähnt. Es handelt sich um Transitivitätsforderungen an die zu   gehörigen Automorphismengruppe, so etwa deren transitive Operation auf die Menge der Dreiecke von  .[8][9][10]
  10. Es gibt mehrere Verallgemeinerungen des Satzes von Dembowski-Wagner. In einer davon ist etwa   zunächst nur als einfacher Blockplan vorausgesetzt und ohne dabei von vornherein die Symmetrie zu fordern. Die Symmetrie ergibt sich dann zugleich mit den weiteren Bedingungen.[11][12][13] Eine weitere Verallgemeinerung wird im Folgenden gebracht.

Verallgemeinerung nach Kantor

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In Hinblick auf die oben angesprochene Frage der Einbeziehung der endlichen projektiven Ebenen in den Satz von Dembowski-Wagner ist das im Folgenden aufgeführte Resultat von William Kantor von Interesse, welches diese Frage in den Zusammenhang der Matroidtheorie bringt und den Satz dabei verallgemeinert. Das Resultat von Kantor besagt (kurzgefasst):

Die symmetrischen  -Blockpläne, deren Blöcke sich als Hyperebenen von Matroiden verstehen lassen, fallen mit den endlichen projektiven Geometrien zusammen.

Hier kommt ein verallgemeinerter Hyperebenenbegriff zum Tragen. Man versteht nämlich für ein Matroid   mit zugehörigem Hüllenoperators   unter einer Hyperebene eine unter   abgeschlossene echte Teilmenge von  , welche bezüglich dieser Eigenschaft maximal ist.[14]

Damit gilt genauer:[15][16]

Für den symmetrischen  -Blockplan   mit   und   sind folgende Bedingungen gleichwertig:
(K1)   stellt die Menge der Hyperebenen eines auf   definierten Matroids dar.
(K2) Entweder ist
  und   ist aufzufassen[17] als eine auf   definierte projektive Ebene der Ordnung  , deren Geradenmenge[18] mit   zusammenfällt,
      oder
es ist   und   ist aufzufassen als ein auf   definierter projektiver Raum, dessen Hyperebenenmenge mit   zusammenfällt.

Literatur

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Einzelnachweise und Anmerkungen

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  1. Some characterizations of finite projective spaces von Peter Dembowski und Ascher Wagner
  2. Dembowski-Wagner: Arch. Math. Band 11, S. 465 ff.
  3. Cameron: S. 8 ff.
  4. Welsh: S. 205 ff.
  5. In dem zugrunde liegenden Artikel im Archiv der Mathematik, Band 11, 1960, nennen Dembowski und Wagner einen symmetrischen Blockplan einen  -Raum (engl.  -space).
  6. Hughes-Piper: S. 79 ff.
  7. Lander: S. 16, 24 ff.
  8. a b Dembowski-Wagner: Arch. Math. Band 11, S. 465.
  9. Kantor: Combinatorics. Part 3. S. 70–71.
  10. Beth-Jungnickel-Lenz: S. 583.
  11. Beutelspacher: S. 18.
  12. Beth-Jungnickel-Lenz: S. 580.
  13. Dembowski: S. 67.
  14. Die Hyperebenen des Matroids legen seine Struktur eindeutig fest, da sie per Komplementbildung umkehrbar eindeutig mit den Kreisen des dualen Matroids   verknüpft sind; vgl. Welsh: S. 35–39.
  15. Kantor: Can. J. Math. Band 21, S. 64 ff.
  16. Welsh: S. 208.
  17. Im oben präzisierten Sinne!
  18. Hier ist zu beachten, dass für projektive Ebenen Geraden und Hyperebenen zusammenfallen.