Satz von Warning

mathematischer Satz
(Weitergeleitet von Satz von Chevalley-Warning)

In der Zahlentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, ist der Satz von Warning ein von dem Mathematiker Ewald Warning[A 1] im Jahre 1935 vorgelegter Lehrsatz, der eine Teilbarkeitseigenschaft der Nullstellenmengen gewisser Polynome über endlichen Körpern beschreibt. Der Satz umfasst nicht zuletzt einen ebenfalls im Jahre 1935 vorgelegten Satz des französischen Mathematikers Claude Chevalley (1909–1984).[1] Der Satz von Warning zog eine Anzahl von weitergehenden Untersuchungen nach sich.[2]

Formulierung des Warning'schen Satzes

Bearbeiten

Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:[1]

Gegeben seien eine Primzahl   sowie der zugehörige endliche Körper   und weiter eine natürliche Zahl   sowie ein Polynom   und es gelte die Ungleichung  .
Weiter sei   die Menge der Nullstellen von   .
Dann ist   ist durch   teilbar. Mit anderen Worten:  .

Verallgemeinerung

Bearbeiten

Der Satz von Warning ist enthalten in dem folgenden allgemeineren Satz:[3]

Es seien die allgemeinen Voraussetzungen von oben gültig. Dabei seien jedoch – anstelle eines einzigen Polynoms – für eine beliebige natürliche Zahl   mehrere Polynome   gegeben, welche der Ungleichung   genügen sollen.
Dann ist für die Menge   der gemeinsamen Nullstellen der   deren Anzahl   durch   teilbar.
Insbesondere gibt es stets eine weitere gemeinsame Nullstelle, falls die   mindestens eine gemeinsame Nullstelle haben.

Erläuterungen und Hinweise

Bearbeiten
  • Für eine Menge   bezeichnet man mit   die Mächtigkeit dieser Menge.
  • Zu einer Primzahl   gehört stets der Galoiskörper   mit der Charakteristik  .
  • Zu einem gegebenen Körper   und einer gegebenen natürlichen Zahl   gehört stets der Polynomring   in   Veränderlichen  .
  •   bezeichnet den Grad des Polynoms  .
  • Für den Galoiskörper   ist   genau dann Nullstelle des Polynoms  , wenn  .
  • Man bezeichnet in der englischsprachigen Fachliteratur die genannte Verallgemeinerung des Warning'schen Satzes auch als Chevalley–Warning theorem (deutsch Chevalley–Warning'scher Satz).[3]
  • Der von Chevalley vorgelegte Satz wurde parallel zum Satz von Warning in derselben Zeitschrift publiziert und besagt, dass die im Chevalley–Warning'schen Satz genannte Polynome   unter der genannten Gradbedingung im Falle   mindestens noch eine weitere gemeinsame Nullstelle   haben. Hier ist zu beachten, dass   ist.
  • Der Satz von Warning und die oben genannte Verallgemeinerung lassen sich nicht zuletzt sich auch mit Hilfe des Kombinatorischen Nullstellensatzes ableiten.[3]
  • Der von Koch und Pieper in ihrer Zahlentheorie (s. u.) dargestellte „schöne Beweis“ des Satzes von des Warning beruht auf der Publikation von James Ax aus dem Jahre 1964 (s. u.).[4]

Literatur

Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. a b Helmut Koch, Herbert Pieper: Zahlentheorie. 1976, S. 39–40.
  2. Erhard Aichinger; Jakob Moosbauer: Chevalley-Warning type results on abelian groups. In: J. Algebra , 569, S. 30–66
  3. a b c Stasys Jukna: Extremal Combinatorics. 2011, S. 229 ff.
  4. Koch/Pieper, op. cit., S. 23

Anmerkungen

Bearbeiten
  1. Ewald Warning (1910–1999) war ein Hamburger Mathematiker und Physiker. Seine Tochter ist die Malerin Gerda Warning-Rippen.
  2. Erhard Aichinger lehrt an der Johannes-Kepler-Universität in Linz und promovierte dort im Jahre 1998 unter der Anleitung von Günter Franz Pilz und Kalle Kaarli zum Ph.D. .
  3. Gemeint ist Emil Artin (1898–1962).