Vietoris-Rips-Komplex

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In der Mathematik ist der Vietoris-Rips-Komplex ein einem metrischen Raum und einer Zahl zugeordneter Simplizialkomplex . Er wurde ursprünglich von Leopold Vietoris eingeführt, der ihn zur Definition einer Homologietheorie für beliebige metrische Räume (statt nur Simplizialkomplexe) verwendete. Dieser Ansatz wurde später durch die von Samuel Eilenberg entwickelte singuläre Homologie verdrängt. Arbeiten von Rips und Gromov[1] etablierten ihn aber als wichtiges Hilfsmittel in der Theorie der hyperbolischen Gruppen. In der Datenanalyse wird er zur Definition der persistenten Homologie verwendet.

Definition

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Sei   ein metrischer Raum und   eine reelle Zahl. Dann ist der Vietoris-Rips-Komplex definiert als der Simplizialkomplex, dessen  -Simplizes die Punkte von   sind und in dem  -Simplizes   genau dann einen  -Simplex aufspannen, wenn

  für alle  

gilt.

Vietoris-Homologie

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Für jede Zahl   kann man die simpliziale Homologie des Simplizialkomplexes   als Invariante metrischer Räume   betrachten. Durch einen Grenzübergang für   definierte Vietoris[2] eine Homologietheorie, von der 1952 bewiesen wurde[3], dass sie mit der vermittels offener Überdeckungen definierten Čech-Homologie übereinstimmt.

Rips-Komplex hyperbolischer Gruppen

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Sei   eine  -hyperbolische Gruppe mit Wortmetrik  . Dann ist der Komplex   für   ein zusammenziehbarer Raum, auf dem   frei und eigentlich diskontinuierlich wirkt. Der Faktorraum   ist also ein klassifizierender Raum   für die Gruppe  .

Mit Hilfe der Wirkung von   auf dem Rips-Komplex kann man beispielsweise beweisen, dass hyperbolische Gruppen endlich präsentiert sind, nur endlich viele Konjugationsklassen von Torsionselementen haben, und ihre Gruppenhomologie   für hinreichend große   verschwindet.[4]

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Einzelnachweise

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  1. M. Gromov: Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75–263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, (1987).
  2. L. Vietoris: Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen, Math. Annalen, 97 (1): 454–472 (1927).
  3. C. H. Dowker, Homology Groups of Relations, Annals of Math. 56, 84–95 (1952)
  4. Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Papers from the Swiss Seminar on Hyperbolic Groups held in Bern, 1988. Edited by É. Ghys and P. de la Harpe. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.