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In der Theorie mathematischer Körper ist ein primitives Polynom das Minimalpolynom eines primitiven Elements einer Körpererweiterung über endlicher Körper. Anders ausgedrückt ist ein Polynom mit den Koeffizienten aus ein primitives Polynom, wenn es eine Nullstelle in hat, so dass die Menge der ganze Körper ist und außerdem das Polynom mit dem kleinsten Grad mit als Nullstelle ist.

Inhaltsverzeichnis

EigenschaftenBearbeiten

Da alle minimalen Polynome irreduzibel sind, sind primitive Polynome ebenso irreduzibel.

Ein primitives Polynom muss einen von Null verschiedenen konstanten Term haben, da es andernfalls durch   teilbar wäre. Über einem Körper aus zwei Elementen ist   ein primitives Polynom und alle anderen primitiven Polynome haben eine ungerade Anzahl von Termen, da jedes Polynom modulo 2 mit einer geraden Anzahl von Termen durch   teilbar ist.

Ein irreduzibles Polynom   des Grades   über   für eine Primzahl   ist ein primitives Polynom, wenn   die kleinste ganze Zahl   ist, für die   ein Teiler von   ist.

Über dem Körper   gibt es genau   primitive Polynome des Grades  , wobei   die Eulersche φ-Funktion ist.

Die Nullstellen eines primitiven Polynoms haben alle die Ordnung  .

AnwendungenBearbeiten

Darstellung von Körper-ElementenBearbeiten

Primitive Polynome werden für die Darstellung von Elementen eines endlichen Körpers verwendet. Wenn   eine Nullstelle eines primitiven Polynoms   ist, dann hat   die Ordnung  , das heißt alle Elemente von   können als aufeinanderfolgende Potenzen von   dargestellt werden:

 

Wenn diese Elemente modulo   reduziert werden, dann bildet die Darstellung als polynomielle Basis aller dieser Elemente einen Körper.

Da die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers immer eine zyklische Gruppe ist, ist für ein primitives Polynom   das Element   ein Generator der multiplikativen Gruppe in  .

Erzeugung von Pseudo-ZufallszahlenBearbeiten

Primitive Polynome definieren eine wiederkehrende Relation, die verwendet werden kann um Bits von Pseudozufallszahlen zu erzeugen. Tatsächlich steht jedes linear rückgekoppelte Schieberegister mit maximalem Zyklus (dieser ist 2lrsr length - 1) mit primitiven Polynomen in Beziehung.

Sei z. B. ein primitives Polynom   gegeben. Man beginnt mit einer benutzerdefinierten Startwert (engl. seed, Saatkorn, dieser muss nicht unbedingt zufällig gewählt werden). Man nimmt dann das 10-te, 3-te und 0-te Bit, gezählt vom niederwertigsten Bit, verknüpft diese mit XOR und erhält ein neues Bit. Die Saatzahl wird dann nach links verschoben und das neue Bit wird zum niederwertigsten Bit der Saatzahl. Dies kann wiederholt werden um   Pseudo-Zufalls-Bits zu erzeugen. Für eine Maximum Length Sequence sind ganz bestimmte Ausgänge des Schieberegisters erforderlich.[1]

Allgemein gilt für ein primitives Polynom des Grades  , dass dieser Vorgang   Pseudo-Zufallszahlen erzeugt, bevor die Sequenz sich wiederholt.

Primitive TrinomeBearbeiten

Primitive Trinome sind primitive Polynome mit nur drei von Null verschiedenen Termen. Die Trinome sind sehr einfach und werden für sehr effiziente Zufallszahlengeneratoren verwendet. Es gibt verschiedene Methoden, um primitive Trinome zu ermitteln und zu prüfen. Ein einfacher Test funktioniert wie folgt: Für jedes  , für das   eine Mersenne-Primzahl ist, ist ein Trinom des Grades   primitiv, genau dann wenn es irreduzibel ist. Durch kürzlich von Richard P. Brent entwickelte Algorithmen ist es möglich geworden, primitive Trinome von hohem Grad zu finden, wie z. B.  . Damit können Pseudozufallsgeneratoren mit einer riesigen Periode von  , oder ca.   erzeugt werden.[2]

LiteraturBearbeiten

  • Elwyn R. Berlekamp: Algebraic Coding Theory, Revised Edition. 2. Auflage. Aegean Park Press, 1984, ISBN 0-89412-063-8.
  • Peterson, W.W., Weldon, E.J., "Error correcting codes", Cambridge, The MIT – Press, 1972
  • Anderson, G.C., Finnie, B. W., "Pseudo-random and random test signals", HP-Journal 19,Nr.1,2 1967

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Tietze/Schenk, "Halbleiter-Schaltungstechnik", 3. Auflage 1976, S.590 ff, in späteren Auflagen nicht mehr beschrieben.
  2. Search for Primitive Trinomials (mod 2).