Potenzgesetz (Statistik)

Begriff aus der Statistik

In der Mathematik sind Potenzgesetze (engl. power laws) Gesetzmäßigkeiten, die die Form eines Monoms haben: .

Die Häufigkeit der Einwohnerzahlen deutscher Städte (gelb) kann durch ein Potenzgesetz: beschrieben werden (blau). Dem liegt eine Pareto-Verteilung zugrunde.

Sie gehören zu den Skalengesetzen und beschreiben die Skaleninvarianz vieler natürlicher Phänomene. Sie treten beispielsweise im Zusammenhang mit Worthäufigkeiten (Zipfsches Gesetz) oder menschlicher Wahrnehmung (Stevenssche Potenzfunktion) auf. Pareto-Verteilungen sind ebenfalls Potenzgesetze.

Mathematische DetailsBearbeiten

Potenzgesetze beschreiben polynomielle Abhängigkeiten zwischen zwei Größen   und   der Form

 

Dabei ist   der Vorfaktor und   der Exponent des Potenzgesetzes, und die durch   angedeuteten Zusatzterme werden als vernachlässigbar angenommen und weggelassen.

Der Wert von   ist meist weniger relevant – man interessiert sich eher für den Exponenten des Potenzgesetzes, da dieser bestimmt, ob   mit steigendem   ab- oder zunimmt und mit welcher Geschwindigkeit. Insbesondere kann der Vorfaktor in den Exponenten integriert werden.    wird dazu umgeformt zu  .

BeispieleBearbeiten

Ob eine gegebene Verteilung durch eine Potenzfunktion angenähert werden kann, zeigt sich bei einer doppelt-logarithmischen Auftragung: Ist der Graph der Funktion eine Gerade, so ist eine Näherung durch eine Potenzfunktion möglich. Die Steigung der Gerade ist dann ihr Exponent. Eine detaillierte Herleitung und Beispiel findet sich im Artikel Pareto-Verteilung.

Exponentielles Wachstum von StädtenBearbeiten

Ein Potenzgesetz der Größenverteilung ergibt sich bei exponentiellem Wachstum, wenn sowohl die Anzahl als auch die Ausdehnung der zu messenden Objekte exponentiell wächst. Die Größenverteilung der Objekte zu einem beliebigen Zeitpunkt gehorcht dann einem Potenzgesetz:

Beispielsweise sei die Anzahl von Städten zum Zeitpunkt   eine exponentiell wachsende Größe:

 

Die Ausdehnung einer zum Zeitpunkt   gegründeten Stadt zum Zeitpunkt   sei ebenso exponentiell wachsend:

 

Für die Ausdehnung   der Städte gilt folglich die Wahrscheinlichkeitsaussage

 .

Durch Logarithmieren und Umformen ergibt sich daraus:

 

Die Wahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt  , dass eine zufällige Stadt   vor einem gewählten Zeitpunkt   gegründet worden ist, beträgt

 .

Verwendet man diese Formel für die Berechnung der Verteilungsfunktion (setze  ), so ergibt sich die Verteilungsfunktion

 .

Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte für die Ausdehnung (Ableitung der Verteilungsfunktion; „Größenverteilung“) ist folglich von der gesuchten Form:

 

das heißt mit  .

NetzwerktheorieBearbeiten

 
Die Gradverteilung eines Barabási-Albert-Netzwerks mit 200.000 Knoten und maximalem Grad von 882.

Potenzgesetze treten bei skalenfreien Netzen auf, wie sie beispielsweise durch das Barabási-Albert-Modell erzeugt werden.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Yule, G. U.: A mathematical theory of evolution based upon the conclusions of Dr J.C. Willis, FRS. Philos. Trans. R. Soc. Lond. B 213 (1924), 21–87
  • Willis, J. C.: Age and area. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1922
  • Fermi, Enrico: On the Origin of the Cosmic Radiation. Phys. Rev. 75 (1949), S. 1169–1174
  • Zipf, George Kingsley (1949): Human Behavior and The Principles of Least Effort. Addison-Wesley, Cambridge, MA 1949