Pick–Matrix

mathematischer Begriff aus der Analysis

Pick–Matrix ist ein mathematischer Begriff, der in dem mathematischen Teilgebiet der Analysis Verwendung findet. Hier bezeichnet man eine quadratische Matrix als Pick–Matrix, wenn eine positive natürliche Zahl und dazu paarweise verschiedene komplexe Zahlen und weiter komplexe Zahlen gegeben sind, so dass das jeweilige –Element von die Form

hat.

Der Begriff spielt eine wesentliche Rolle im Zusammenhang mit dem sogenannten Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna.[1]

Interpolationsproblem

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Das Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna – oder auch Nevanlinna–Pick–Interpolationsproblem (englisch Nevanlinna–Pick interpolation problem) – geht auf wissenschaftliche Publikationen der beiden Mathematiker Georg Pick und Rolf Nevanlinna aus den Jahren 1916 bzw. 1919 zurück. Es behandelt die folgende Fragestellung:[2][3]

Gegeben seien   paarweise verschiedene komplexe Zahlen   und weiter   komplexe Zahlen  .
Zu diesen Zahlen wird eine Funktion   gesucht, welche die folgenden beiden Nebenbedingungen erfüllen soll:
(i)  
(ii)  

Interpolationssatz

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Es gilt zu dem genannten Problem der folgende Interpolationssatz von Pick und Nevanlinna:[1][3]

Das Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna ist lösbar genau dann, wenn die zu diesen   und   gehörige Pick-Matrix nichtnegativ-definit ist.

Andere Definition

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In einer im Jahre 1974 erschienenen Monographie von William F. Donoghue, Jr., wird der Begriff der Pick–Matrix in einer anderen Weise definiert.[4] Hier bezeichnet man eine quadratische Matrix   als Pick–Matrix, wenn eine positive natürliche Zahl   sowie   komplexe Zahlen   und weiter eine Funktion   vorliegen, so dass das jeweilige  –Element von   die Form

 

hat.

Erläuterungen

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  1.   ist die offene Einheitskreisscheibe.
  2.   ist die Einheitskreislinie (oder auch Kreisgruppe).
  3.   ist der zu den beschränkten holomorphen Funktionen   gehörige Hardy-Raum.
  4.   ist die (offene) obere Halbebene.
  5. Der Interpolationssatz von Pick und Nevanlinna lässt sich auf mehreren Wegen herleiten. So gab etwa Donald E. Marshall im Jahre 1975 einen elementaren konstruktiven Beweis. Zuvor war im Jahre 1967 schon von Donald Erik Sarason gezeigt worden, dass der Pick–Nevanlinna'sche Interpolationssatz sich auch als Folgerung aus einem von Sarason vorgelegten – grundlegenden! – Theorem im Rahmen der Theorie der beschränkten Operatoren auf Hardy-Räumen ergibt.[3]

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. a b Yutaka Yamamoto: From Vector Spaces to Function Spaces 2012, S. 196 ff.
  2. Yamamoto, op. cit., S. 198
  3. a b c Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1. 1979, S. 215
  4. William F. Donoghue, Jr.: Monotone Matrix Functions and Analytic Continuation 1974, S. 34 ff.

Anmerkungen

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  1. Yutaka Yamamoto, geboren am 29. März 1950 ist ein japanischer Mathematiker, der der vor allem auf den Gebieten der Systemtheorie und Kontrolltheorie arbeitet.