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Orthodiagonales Viereck

Viereck mit senkrecht aufeinander stehenden Diagonalen
Ein orthodiagonales Viereck. Gemäß der Charakterisierung dieser Vierecke haben die beiden rot gefärbten Quadrate über zwei gegenüberliegenden Seiten des Vierecks zusammen die gleiche Fläche wie die beiden blau gefärbten Quadrate über den beiden anderen Seiten.

In der euklidischen Geometrie ist ein orthodiagonales Viereck ein Viereck, in dem sich die Diagonalen rechtwinklig kreuzen.[1] Mit anderen Worten: Es ist eine vierseitige ebene Figur, in der die Verbindungslinien zwischen den nicht benachbarten Ecken orthogonal zueinander sind.

Spezielle orthodiagonale Vierecke sind Drachenvierecke, insbesondere Rauten und Quadrate.

Inhaltsverzeichnis

CharakterisierungenBearbeiten

Ein Viereck ist genau dann orthodiagonal, wenn für die beiden Paare gegenüberliegender Seiten die Summen der Quadrate der Seitenlängen übereinstimmen.[2][3] Bezeichnet man die Vierecksseiten, wie üblich, der Reihe nach mit  ,  ,   und  , so lautet diese Bedingung:

 

Die Diagonalen eines konvexen Vierecks sind genau dann senkrecht zueinander, wenn die beiden Bimediane (die Verbindungsstrecken gegenüberliegender Seitenmittelpunkte) gleich lang sind.

Nach einer anderen Charakterisierung sind die Diagonalen eines konvexen Vierecks ABCD genau dann senkrecht zueinander, wenn

 

gilt, wobei P der Schnittpunkt der Diagonalen ist. Aus dieser Gleichung folgt fast unmittelbar, dass die Diagonalen eines konvexen Vierecks sich genau dann senkrecht schneiden, wenn die Projektionen des Diagonalenschnittpunkts auf die Vierecksseiten die Ecken eines Sehnenvierecks sind.

Ein konvexes Viereck ist genau dann orthodiagonal, wenn sein Varignon-Parallelogramm (dessen Ecken die Seitenmittelpunkte sind) ein Rechteck ist.[4] Eine verwandte Charakterisierung besagt, dass ein konvexes Viereck genau dann orthodiagonal ist, wenn die Seitenmittelpunkte und die Fußpunkte der Lote von den Seitenmittelpunkten auf die gegenüberliegenden Seiten konzyklisch sind, also auf einem Kreis liegen (Acht-Punkte-Kreis). Der Mittelpunkt dieses Kreises stimmt mit dem Schwerpunkt des Vierecks überein.

Mehrere Bedingungen für orthodiagonale Vierecke beziehen sich auf die Teildreiecke  ,  ,   und  , in die das Viereck durch seine Diagonalen unterteilt wird. Bezeichnet man mit  ,  ,   und   die Verbindungsstrecken des Diagonalenschnittpunkts   mit den Mittelpunkten der Seiten  ,  ,   bzw.  , und mit  ,  ,   und   die Lote von   auf die Vierecksseiten, so ist ein konvexes Viereck   genau dann orthodiagonal, wenn eine der folgenden Aussagen gilt:

  •  
  •  

EigenschaftenBearbeiten

Für den Flächeninhalt eines orthodiagonalen Vierecks gilt

 ,

wobei   und   für die Längen der beiden Diagonalen stehen.[5]

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. verwendet z. B. in: E. Lampe u. a.: Archiv der Mathematik und Physik. Dritte Reihe, 12. Bd., Teubner, Leipzig und Berlin 1907, S. 198 (online).
  2. Altshiller-Court, N. (2007), College Geometry, Dover Publications. Republication of second edition, 1952, Barnes & Noble, pp. 136–138.
  3. Ismailescu, Dan; Vojdany, Adam (2009), "Class preserving dissections of convex quadrilaterals", Forum Geometricorum 9: 195–211.
  4. Josefsson, Martin (2012), "Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals", Forum Geometricorum 12: 13–25.
  5. Harries, J. "Area of a quadrilateral," Mathematical Gazette 86, July 2002, 310–311.