Malfatti-Kreis

drei Kreise in einem Dreieck
01-Malfatti-Kreise.svg

Die drei Malfatti-Kreise, später bekannt als Malfattisches Problem,[1] sind benannt nach Gianfrancesco Malfatti, der 1803 ihre Konstruktion angab.[2] Bestimmt sind die Malfatti-Kreise – unabhängig von der Form des Ausgangsdreiecks – durch drei Kreise in einem Dreieck mit der Eigenschaft, dass jeder die beiden anderen Kreise von außen und zwei Dreiecksseiten von innen berührt.[3][4]

Malfatti nahm fälschlich an, dass diese Eigenschaft der Kreise das Problem lösen, drei Kreise überschneidungsfrei so in ein Dreieck zu packen, dass sie maximalen Flächeninhalt haben. Warum die Malfatti-Kreise dieses sogenannte Malfatti’sche Maximierungsproblem, sprich die maximale Bedeckung der Dreiecksfläche durch drei Kreise, nicht lösen, lässt sich z. B. leicht an einem langen schmalen rechtwinkligen Dreieck erkennen.[5]

Für die Radien der Malfatti-Kreise eines Dreiecks ABC gilt:[6]

Dabei steht für den Inkreisradius und für den halben Dreiecksumfang. ist der Inkreismittelpunkt und sind die drei Winkelhalbierenden.

GeschichtlichesBearbeiten

 
Das Marmor-Problem
Dreieckiges Prisma mit drei einbeschriebenen zylinderförmigen Säulen sowie mit den neun möglichen Berührungspunkten der Malfatti-Kreise

Das ursprüngliche Malfatti-Problem bezog sich auf eine Aufgabe aus der Stereotomie,[6] deren vermeintliche Lösung Malfatti 1802 fand und 1803 in der Memoria di Matematica e Fisica della Società Italiana delle Scienze in seinem Artikel Memoria sopra un problema stereotomico veröffentlichte. Zu Beginn seines Artikels formuliert Malfatti dazu die Aufgabenstellung.[6]

Frei übersetzt lautet sie:

Bei einem geraden dreieckigen Prisma aus irgendeinem Material, zum Beispiel Marmor, werden daraus drei [kreisförmige] Zylinder zugeschnitten mit der gleichen Höhe wie das Prisma, aber mit dem höchstmöglichen Gesamtvolumen, das heißt mit dem geringstmöglichen Materialabfall des Prisma-Volumens.

In seinem Artikel Memoria sopra un problema stereotomico weist Malfatti auch darauf hin, dass diese stereotomische Aufgabe auf ein Problem der Flächengeometrie reduzierbar ist. Er definiert die Lage der Kreise, die dem Dreieck einbeschriebenen sind, heute als Malfatti-Kreise bezeichnet, folgendermaßen:[6]

Freie Übersetzung

Gegeben sei ein Dreieck, konstruiere drei Kreise darin so, dass jeder der Kreise tangential ist (das heißt, sie berühren einen Punkt) mit den anderen zwei und mit zwei Seiten des Dreiecks.

Das wurde allerdings 1992 von W. A. Salgaller und G. A. Los[7] widerlegt,[8] die zeigten, dass die Lösung stattdessen dadurch erreicht wird, jeweils in aufeinanderfolgenden Schritten einen Kreis mit dem größten Flächeninhalt einzubeschreiben – im Folgenden beschrieben im Abschnitt Konstruktion nach Salgaller und Los.

Bereits 1687 wurde das Malfatti-Konstruktionsproblem von Jakob I Bernoulli in einem Spezialfall gelöst (gleichschenkliges Dreieck)[9][10] und später gaben Jakob Steiner[11][12] auf rein geometrischem Weg[9] und Alfred Clebsch Lösungen, Letzterer mit elliptischen Funktionen (1857, Crelle’s Journal).[13] Auch der Japaner Ajima Naonobu gab 30 Jahre vor Malfatti im Rahmen japanischer Architektur eine Lösung.[14] Dass die Konstruktion von Malfatti das Malfatti-Problem nicht in allen Fällen löste, zeigten schon Lob und Richmond 1930 mithilfe gleichseitiger Dreiecke,[15] sowie Howard W. Eves 1965 durch Untersuchungen anhand schmaler und langer Dreiecke.[5] Im Jahr 1967 wurde sogar von Michael Goldberg in einem Aufsatz gezeigt,[16] dass Malfattis Konstruktion dies in keinem Fall tut. Hierfür erbrachten, wie bereits oben erwähnt, Salgaller und Los 1992 den Beweis.

Geometrische KonstruktionenBearbeiten

Ingmar Lehmann erläutert 2003 diverse Lösungen des Malfatti-Problems in seiner Analyse Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung. Im Folgenden werden daraus vier Methoden im Einzelnen beschrieben.

Konstruktion nach MalfattiBearbeiten

 
Malfatti-Kreise nach Malfatti, Berechnungsskizze

Variante mit vorherigen Berechnungen

“Eine elementargeometrische Konstruktion, die auf vorherige algebraische Berechnungen verzichtet, ist relativ anspruchsvoll.”

Ingmar Lehmann: 2.1 Konstruktion nach Malfatti[8]

Dazu leitet Lehmann mithilfe des Satzes des Pythagoras und der Ähnlichkeit von Dreiecken drei Gleichungen her, deren Lösungen die Tangentenabschnitte   und   liefern.

Es werden noch folgende Beziehungen berücksichtigt:

 

darin bedeuten die Bezeichnungen

  und  

Mit den entsprechend eingesetzten Werten ist es jetzt möglich, eine sogenannte Hilfsstrecke   mit der Länge   zu bestimmen

 

dann gilt für die oben beschriebenen Tangentenabschnitte

 

Wird in der Formel für   der Faktor   den Summanden einzeln zugeordnet

 

ist damit eine sehr einfache und platzsparende geometrische Konstruktion (siehe nebenstehendes Bild) darstellbar.

 
Malfatti-Kreise nach Malfatti mit Konstruktion der Hilfsstrecke  

Konstruktionsbeschreibung

Nach dem Zeichnen eines z. B. ungleichseitigen Dreiecks   mit den Seitenlängen   und   wird der Mittelpunkt des Inkreises   mithilfe der drei Winkelhalbierenden   und   bestimmt. Damit ergeben sich die Strecken   und   Es folgt das Fällen des Lots von   auf die Strecke   mit dem Fußpunkt   und das Ziehen des Inkreises   um   mit dem Radius   Das Fällen der Lote von   auf   mit dem Fußpunkt   sowie von   auf   mit dem Fußpunkt   schließt sich an.

Nun wird die Länge   der Hilfsstrecke   folgendermaßen auf einer Zahlengeraden ermittelt. Zuerst werden die Streckenhälften   und   addiert, aus deren Summe die Streckenhälften   und   subtrahiert und schließlich zum erhaltenen Rest der halbe Inkreisradius   addiert.

Weiter geht es mit dem Bestimmen der Mittelpunkte der Malfatti-Kreise. Die Hilfsstrecke   sprich   mit dem Zirkel abgreifen und jeweils auf die drei Winkelhalbierenden   und   ab dem Inkreismittelpunkt   übertragen; dies ergibt die Punkte   und   Ab den Punkten   und   einen Kreisbogen bis auf die Dreieckseite   und ab   einen Kreisbogen bis auf   geschlagen, ergibt die Punkte   und   Es folgt das Errichten dreier Lote von den Fußpunkten   und   auf die betreffenden Winkelhalbierenden   und   somit ergeben sich die gesuchten Mittelpunkte   und  

Um die Berührungspunkte   und   zu erhalten, sind noch drei Lote von den Mittelpunkten   und   auf die Dreieckseiten   und nochmals   zu fällen. Abschließend die Malfatti-Kreise   und   mit den Radien   und   einzeichnen und man erhält deren letzten drei Berührungspunkte   und  

Somit sind die drei Malfatti-Kreise   und   mit ihren neun möglichen Berührungspunkten   und   konstruiert.

Konstruktion nach Steiner-PetersenBearbeiten

Jakob Steiner brachte 1826 die Malfatti-Kreise in Verbindung mit den Inkreisen aus drei Teildreiecken, die deswegen als Konstruktionselement für die Malfatti-Kreise verwendet werden können. Steiner formulierte dazu den Satz:

“Jede der gemeinsamen Tangenten der Malfatti-Kreise berührt zugleich zwei der drei Inkreise der Teildreiecke   wobei   der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks   ist.”

Ingmar Lehmann: 2.2 Konstruktion nach Steiner-Petersen[17]

Hierbei ist zu betonen, dass die von Steiner erwähnten Tangenten an die Malfatti-Kreise im Allgemeinen nicht die Winkelhalbierenden von   sind, sondern deren Spiegelbilder an den Verbindungsgeraden zweier Inkreismittelpunkte der Teildreiecke.

Julius Petersen fand im Jahr 1879 eine elementargeometrische Lösung (Variante ohne vorherige Berechnungen)[18] des Konstruktionsproblems von Malfatti, die im Folgenden dargestellt ist.[19]

Konstruktionsbeschreibung

Es ist wegen einer besseren Übersichtlichkeit vorteilhaft, die Konstruktion in drei Hauptschritten, (1)–(3), darzustellen. Dabei werden nur die relevanten Konstruktionselemente vom ersten in den zweiten bzw. vom zweiten in den dritten Hauptschritt übernommen.

 
Malfatti-Kreise nach Steiner-Petersen
(1) Hauptschritt: Konstruktion der drei Inkreise der Teildreiecke   und  

(1) Konstruktion der drei Inkreise der Teildreiecke   und  [19]

Nach dem Zeichnen eines z. B. ungleichseitigen Dreiecks   mit den Seitenlängen   und   wird der Mittelpunkt des Inkreises   mithilfe der drei Winkelhalbierenden   und   bestimmt. Die Inkreismittelpunkte   und   der Teildreiecke   und   erhält man wieder als Schnittpunkt zweier Winkelhalbierenden, z. B. durch Vierteln der Winkel   und   Es folgt das Fällen des Lots von   auf die Strecke   mit dem Fußpunkt   und das Ziehen des Inkreises   um   mit dem Radius   Das Fällen der Lote von   auf   mit dem Fußpunkt   sowie von   auf   mit dem Fußpunkt   und das Einzeichnen der letzten beiden Inkreise   und   um ihre Mittelpunkte   bzw.   schließen sich an.

 
Malfatti-Kreise nach Steiner-Petersen
(2) Hauptschritt: Konstruktion der drei Tangenten   und  

(2) Konstruktion der drei Tangenten   und  

Es geht weiter mit dem Verbinden der Punkte   mit   der Halbierung der Strecke   in   und dem Einzeichnen des Thaleskreises   Er schneidet den Inkreis   in den Punkten   und   Nun zieht man die erste Tangente vom Punkt   durch den Berührungspunkt   des Inkreises   bis sie die Dreieckseite   in   schneidet.

Im Anschluss daran wird   mit   verbunden, die Strecke   in   halbiert und der Thaleskreis   eingezeichnet. Er schneidet den Inkreis   in den Punkten   und   Das Einzeichnen der zweiten Tangente vom Punkt   durch   bis sie die Dreieckseite   in   schneidet, liefert den Schnittpunkt   Da   auch ein Punkt auf der dritten Tangente sein muss, bedarf es zu deren Bestimmung nur noch einer Linie von   durch   bis auf die Dreieckseite   und den Schnittpunkt   Somit ist auch die dritte Tangente   ermittelt.

 
Malfatti-Kreise nach Steiner-Petersen
(3) Hauptschritt: Konstruktion der Malfatti-Kreise   und  

(3) Konstruktion der Malfatti-Kreise   und  

Zunächst wird im Dreieck   die Winkelhalbierende   vom Punkt   bis auf die Winkelhalbierende   eingezeichnet; dabei ergibt sich der Mittelpunkt   des ersten Malfatti-Kreises. Es folgt das Fällen des Lots von   auf die Strecke   mit dem Fußpunkt   und das Ziehen des ersten Malfatti-Kreises   um   mit dem Radius   Das Fällen der Lote von   auf   mit dem Fußpunkt   sowie von   auf die Tangente   mit dem Fußpunkt   schließt sich an. Die darauf folgende Linie ab   durch   bis auf die Winkelhalbierende   erzeugt den Mittelpunkt   Nach dem Einzeichnen des zweiten Malfatti-Kreises   um   mit dem Radius   werden die Lote von   auf   mit dem Fußpunkt   von   auf   mit dem Fußpunkt   sowie von   auf die Tangente   mit dem Fußpunkt   gefällt. Die darauf folgende Linie ab   durch   bis auf die Winkelhalbierende   erzeugt den Mittelpunkt   Nun folgt das Einzeichnen des dritten Malfatti-Kreises   um   mit dem Radius  

Um die Berührungspunkte   und   zu erhalten, bedarf es noch zweier gefällter Lote vom Mittelpunkt   auf   von   auf   und der Verbindung des Punktes   mit  

Somit sind die drei Malfatti-Kreise   und   mit ihren neun möglichen Berührungspunkten   und   konstruiert.

Konstruktion nach Lob und RichmondBearbeiten

 
Konstruktion nach H. Lob und H. W. Richmond,
gleichseitiges Dreieck mit Inkreis als Teil der Lösung des Maximierungs-Problems

H. Lob und H. W. Richmond veröffentlichten 1930[15] eine Lösung für das Maximierungs-Problem von Malfatti. Darin wird der Inkreis des gleichseitigen Dreiecks als ein Kreis von dreien genutzt. Die Bedeckung der Dreiecksfläche durch diese Anordnung der Kreise ist nur marginal größer, nämlich um  , aber dafür ist die Aufgabe leicht und mit wenig Aufwand darstellbar.

Sie haben damit bewiesen,

“[…] dass die sogenannten Malfatti-Kreise, also jene drei Kreise, die jeweils genau zwei der Dreiecksseiten als Tangenten haben, nicht die maximale Bedeckung eines Dreiecks liefern.”

Ingmar Lehmann: 1. Die Malfatti-Story[5]

Konstruktionsbeschreibung

Nach dem Zeichnen eines gleichseitigen Dreiecks   mit den gleich langen Seitenlängen   und   wird der Mittelpunkt des Inkreises   mithilfe der drei Winkelhalbierenden   und   bestimmt. Es folgt das Fällen des Lots von   auf die Strecke   mit dem Fußpunkt   und das Ziehen des Inkreises   um   mit dem Radius   die Schnittpunkte sind   mit der Winkelhalbierenden   und   mit der Winkelhalbierenden   Das Fällen der Lote von   auf   mit dem Fußpunkt   sowie von   auf   mit dem Fußpunkt   schließt sich an.

Für die kleineren Kreise zieht man (im gleichseitigen Dreieck) zwei Parallelen zur Strecke   – eine ab dem Punkt   bis auf die Strecke   mit dem Schnittpunkt  , die zweite ab dem Punkt   bis auf die Strecke   mit dem Schnittpunkt   Das Errichten des Lots mit dem Fußpunkt   auf die Winkelhalbierende   und das Errichten des Lots auf die Winkelhalbierende   mit dem Fußpunkt   ergibt die Mittelpunkte   und   Nun wird ein Kreis um   mit dem Radius   und ein Kreis um   mit dem Radius   gezogen. Um die beiden letzten Berührungspunkte zu erhalten, werden abschließend zwei Lote auf   gefällt, von   und von  , dabei ergeben sich die Fußpunkte   und  

Somit sind in das gleichseitige Dreieck die drei Kreise   und   mit ihren neun möglichen Berührungspunkten   und   konstruiert.

Konstruktion nach GoldbergBearbeiten

Michael Goldberg veröffentlichte 1967 einen Aufsatz in dem er zeigte, dass Malfattis Konstruktion, unabhängig von der Form des Dreiecks, in keinem Fall das Maximierungs-Problem erfüllen kann. Zu diesem Ergebnis kam er − ohne es zu beweisen −[8] durch Untersuchungen anhand unterschiedlicher Formen der Dreiecke, die alle eines gemeinsam hatten: Einer der drei Kreise war stets der Inkreis.[16]

“Die richtige Lösung nutzt stets den Inkreis des Ausgangsdreiecks als einen der drei Kreise, m.a.W., einer der Kreise berührt stets alle drei Seiten des Dreiecks.”

Ingmar Lehmann: 1. Die Malfatti-Story, Seite 3[8]

Konstruktionsbeschreibung

 
Konstruktion nach Goldberg, allgemeines Dreieck mit Inkreis als einem von den drei das Maximierungs-Problem lösenden Kreisen.
Radius   daraus folgt: Der dritte Kreis liegt auf der Winkelhalbierenden  

Nach dem Zeichnen des unregelmäßigen Dreiecks   wird der Mittelpunkt   des Inkreises mithilfe der zwei Winkelhalbierenden   und   bestimmt. Damit ergeben sich die Strecken   und   Es folgt das Fällen des Lots von   auf die Strecke   mit dem Fußpunkt   und das Ziehen des Inkreises um   mit dem Radius   der Schnittpunkt auf   ist   Das Fällen der Lote von   auf   mit dem Fußpunkt   sowie von   auf   mit dem Fußpunkt   schließt sich an.

Der Mittelpunkt des zweiten Kreises wird nun sehr einfach mit zwei Schritten bestimmt. Es bedarf dafür nur einer Senkrechten zur Strecke   ab dem Punkt   die   in   schneidet, und einer Winkelhalbierenden des Winkels   Der damit erzeugte Punkt   ist der Mittelpunkt des zweiten Kreises mit dem Radius   und den Berührungspunkten   und   mit zwei Seiten des Dreiecks.

Um für den dritten und letzten gesuchten Kreis den größtmöglichen Radius zu finden, werden zuerst auf zwei Winkelhalbierenden – auf dreien, falls es die Form des Dreiecks verlangt – mögliche Radien bestimmt. Man erhält sie durch analoge Wiederholung der Konstruktionsschritte des zweiten Kreises mit Mittelpunkt   Die gepunkteten Linien im nebenstehenden Bild zeigen den auf der Winkelhalbierenden   konstruierten Radius   als Vergleichsmöglichkeit zum Radius   auf   Die Bewertung der beiden Radien ergibt  . Daraus folgt: Der Kreis um den Mittelpunkt   ist der gesuchte größtmögliche dritte Kreis.

Konstruktion nach Salgaller und LosBearbeiten

W. A. Salgaller[20] und G. A. Los[7] veröffentlichten – nach ihrem Beweis 1992 (siehe Geschichtliches) – 1994 im Journal of Mathematical Sciences ihre Lösung des Malfatti’schen Maximierungs-Problems.[21][22] Darin sind u. a. fünf allgemeine Dreiecke zu sehen in denen jeweils der Inkreis einer der drei sich nicht überlappenden Kreise ist. Nur in einem Dreieck davon, in Konstruktion nach Goldberg beschrieben, liegen diese drei Kreise auf derselben Winkelhalbierenden.[23]

Freie Übersetzung

“Zum ersten Mal ist Malfattis altes Problem, drei nicht überlappende Kreise mit der größten Gesamtfläche in einem Dreieck anzuordnen, gelöst.”

W. A. Salgaller, G. A. Los: The solution of Malfatti’s problem[21]

Bedeckung der Dreiecksfläche durch drei KreiseBearbeiten

  • Die Methode nach Malfatti (Bild 1) sowie die Methode nach Steiner-Petersen erreicht
  oder ca.  [4]
  • Die Methode nach Lob und Richmond (Bild 2) erreicht
  oder ca.  [5]
  • Methode mit Inkreis nach Salgaller und Los[7] sowie die Methode nach Goldberg (Bild 3 und Bild 4):
Die Bedeckung der Dreiecksfläche, z. B. als prozentualer Wert, ist von der gewählten Form des Ausgangsdreiecks sowie von der Position der Kreise   und   abhängig. Für die dargestellte Formen, mit   für die entsprechenden Flächeninhalte, gilt die Prozentformel:
 
dies ergibt eine Bedeckung der Dreiecksfläche für das Dreieck in Bild 3 von   bzw. für das Dreieck in Bild 4 von  

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Kurt Loeber: Geschichtlicher Überblick (Einleitung). In: Beiträge zur Lösung und Geschichte des Malfattischen Problems und seiner Erweiterungen. SUB Göttingen, Götinger Digitalisierungszentrum, 1914, S. 1, abgerufen am 15. November 2020.
  2. Gianfrancesco Malfatti: Memoria sopra un problema stereotomica, Memorie di Matematica e Fisica della Società Italiana delle Scienze, No. 10, 1, 1803, S. 235–244, abgerufen am 15. November 2020.
  3. Gianfrancesco Malfatti: Memoria sopra un problema stereotomica, Memorie di Matematica e Fisica della Società Italiana delle Scienze, No. 10, 1, 1803, S. 243 ff, abgerufen am 15. November 2020.
  4. a b Ingmar Lehmann: 1. Die Malfatti-Story Seite 1. (PDF) In: Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung. TU Dortmund, 2003, abgerufen am 19. November 2020.
  5. a b c d Ingmar Lehmann: 1. Die Malfatti-Story Seite 2. (PDF) In: Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung. TU Dortmund, 2003, abgerufen am 7. November 2020.
  6. a b c d Raúl Ibáñez: El problema de Malfatti. culturacientifica, Matemoción, 5. April 2017, abgerufen am 5. Oktober 2018 (spanisch).
  7. a b c Sic! – Diese Schreibweise Los weicht gemäß den Transkriptionsregeln der deutschsprachigen Wikipedia (Fußnote 6) von der anderswo großteils zu findenden Schreibweise Los’ (mit Apostroph) ab, siehe dazu z. B. auch hier.
  8. a b c d Ingmar Lehmann: Konstruktion der Malfatti-Kreise, S. 3–5. (PDF; 143 KB) In: Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung, 15 Seiten. TU Dortmund, 2003, abgerufen am 4. Oktober 2020.
  9. a b Kurt Loeber: Geschichtlicher Überblick (Einleitung). In: Beiträge zur Lösung und Geschichte des Malfattischen Problems und seiner Erweiterungen. SUB Göttingen, Götinger Digitalisierungszentrum, 1914, S. 2 ff., abgerufen am 4. Oktober 2020.
  10. Jacques Bernoulli: Oeuvres complètes, Genf 1744, Band 1, S. 303.
  11. Jakob Steiner: Einige geometrische Sätze; Jacob Steiner's Gesammelte Werke, Band 1, G. Reimer, 1881, S. 3, in der Google-Buchsuche, abgerufen am 15. November 2020
  12. Jakob Steiner: Einige geometrische Betrachtungen; Jacob Steiner's Gesammelte Werke, Band 1, G. Reimer, 1881, S. 19, in der Google-Buchsuche, abgerufen am 15. November 2020
  13. Alfred Clebsch: Anwendung der elliptischen Funktionen auf ein Problem der Geometrie des Raumes. In: Journal für Reine und Angewandte Mathematik (Crelle`s Journal), Band 53. SUB Göttingen, Götinger Digitalisierungszentrum, 1857, S. 292–308, abgerufen am 15. November 2020.
  14. Ajima Naonobu in seinem Hauptwerk Fukyo sampo von 1799. John J. O’Connor, Edmund F. RobertsonMalfatti-Kreis. In: MacTutor History of Mathematics archive.
  15. a b H. Lob, H. W. Richmond: On the Solutions of Malfatti's Problem for a Triangle. (PDF) London Mathematical Society, 1930, abgerufen am 20. November 2020.
  16. a b Michael Goldberg: On the Original Malfatti Problem. In: Florida Atlantic University (Hrsg.): Mathematics Magazine. Band 40, Nr. 5, November 1967, S. 241–247, JSTOR:2688277 (On the Original Malfatti Problem [PDF; abgerufen am 20. November 2020]).
  17. Ingmar Lehmann: Konstruktion nach Steiner-Petersen, Seite 5. (PDF) In: Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung. TU Dortmund, 2003, abgerufen am 2. Oktober 2018.
  18. Julius Petersen, R. von Fischer-Benzon (Überstzer): Methoden und Theorien zur Auflösung geometrischer Konstruktionsaufgaben. In: Konstruktionsaufgabe 404. University of Michigan, Library, 1879, S. 102–104, abgerufen am 15. November 2020.
  19. a b Ingmar Lehmann: Konstruktion nach Steiner-Petersen, S. 8 ff. (PDF) In: Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung. TU Dortmund, 2003, abgerufen am 2. Oktober 2018.
  20. Sic! – Diese Schreibweise Salgaller entspricht den Wikipedia:Namenskonventionen, siehe hierzu auch Wiktor Abramowitsch Salgaller
  21. a b W. A. Salgaller, G. A. Los: The solution of Malfatti’s problem. In: Journal of Mathematical Sciences. 72, Nr. 4, 1994, S. 3163 ff., Fig. 1, Springer Link, PDF. Abgerufen am 5. Oktober 2020.
  22. Jaime Rangel-Mondragon: The Malfatti Problem. (PDF) In: Wolfram Demonstrations Project. Wolfram, 2011, abgerufen am 24. November 2020.
  23. Arnold Math Jn: 2.2 Solution to Malfatti’s Marble Problem. (PDF) In: On Malfatti’s Marble Problem. Institute for Mathematical Sciences, Stony Brook University, New York, Juni 2016, abgerufen am 24. November 2020.
Dieser Artikel wurde am 25. November 2020 in dieser Version in die Liste der exzellenten Artikel aufgenommen.