In der Mathematik beschreibt das Konzept Lokale Starrheit die Nicht-Deformierbarkeit von Darstellungen von Gruppen.

Ein stärkerer Starrheitsbegriff ist die (globale) Mostow-Starrheit.

Definition

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Sei   eine Matrixgruppe, zum Beispiel   oder  ,   ein Gitter und   die Inklusion.

Das Gitter   heißt lokal starr, wenn es eine Umgebung von   in der Darstellungsvarietät   gibt, so dass alle Darstellungen in dieser Umgebung zu   äquivalent (d. h. vermittels eines Elementes aus   konjugiert) sind.

Mit einem fest gewählten endlichen Erzeugendensystem   von   kann man lokale Starrheit wie folgt beschreiben: es gibt eine Umgebung   des neutralen Elements in  , so dass für jeden Homomorphismus   mit

 

gilt: es gibt ein   mit

 .

Kriterien

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Eine hinreichende Bedingung für lokale Starrheit einer Darstellung   ist das Verschwinden der Kohomologiegruppe  , wobei   die adjungierte Darstellung von   bezeichnet.

Aus Weil-Starrheit folgt: eine halbeinfache Darstellung ist genau dann lokal starr, wenn   ist.

Beispiele

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Lokale Starrheit wurde bewiesen:

  • für kokompakte Gitter in   von Selberg[1]
  • für kokompakte Gitter in   von Calabi[2]
  • für kokompakte irreduzible Gitter in einer Lie-Gruppe nicht lokal isometrisch zu   von Weil[3]
  • für nicht-kokompakte Gitter in Lie-Gruppen vom  -Rang 1 nicht lokal isometrisch zu   oder   von Garland und Raghunathan[4]
  • für nicht-kokompakte irreduzible Gitter in halbeinfachen Lie-Gruppen vom  -Rang   als Konsequenz des Superstarrheitssatzes von Margulis.[5]

Gegenbeispiele

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Hyperbolische Dehn-Chirurgie: Wenn   eine nicht-kompakte hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens ist, dann erhält man durch Dehn-Chirurgie unendlich viele geschlossene hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten  . Seien   und   die durch die hyperbolischen Strukturen gegebenen Darstellungen.

Die Darstellungen   können mit dem durch die Inklusion   induzierten Homomorphismus   verknüpft werden. Die so erhaltene Folge von Darstellungen   konvergiert für   gegen  , ist aber nicht zu   äquivalent. Die Darstellung   ist also nicht lokal starr.

Literatur

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  • Joan Porti: Local and infinitesimal rigidity of representations of hyperbolic three manifolds. RIMS Kôkyûroku, Kyoto University Vol 1836 (2013), 154–177, online (PDF; 293 kB)

Einzelnachweise

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  1. Atle Selberg: On discontinuous groups in higher-dimensional symmetric spaces. 1960 Contributions to function theory (internat. Colloq. Function Theory, Bombay, 1960) pp. 147–164 Tata Institute of Fundamental Research, Bombay
  2. Eugenio Calabi: On compact, Riemannian manifolds with constant curvature. I. 1961 Proc. Sympos. Pure Math., Vol. III pp. 155–180 American Mathematical Society, Providence, R.I.
  3. André Weil: On discrete subgroups of Lie groups. II. Ann. of Math. (2) 75 1962 578–602.
  4. H. Garland, M. S. Raghunathan: Fundamental domains for lattices in (R-)rank 1 semisimple Lie groups. Ann. of Math. (2) 92 1970 279–326.
  5. G. A. Margulis: Arithmeticity of the irreducible lattices in the semisimple groups of rank greater than 1. Invent. Math. 76 (1984), no. 1, 93–120.