Lineare Disjunktheit

In der abstrakten Algebra heißen zwei Zwischenkörper und einer Körpererweiterung linear disjunkt, wenn jede Menge von Elementen von , die über linear unabhängig ist, auch über linear unabhängig ist. Eine äquivalente Charakterisierung lautet: Die Abbildung

ist injektiv (zur Notation siehe Tensorprodukt). An dieser Beschreibung sieht man auch sofort, dass lineare Disjunktheit eine symmetrische Eigenschaft von und ist.

Der Schnitt linear disjunkter Teilerweiterungen ist stets der Grundkörper , d. h.

Die Umkehrung gilt nicht allgemein, jedoch zumindest dann, wenn eine der beiden Erweiterungen und endlich und galoissch ist.

In der Galoistheorie lassen sich bestimmte Aussagen verschärfen, wenn man die lineare Disjunktheit der Zwischenkörper voraussetzt.

Zum Beispiel ist die Galoisgruppe G(MN/K) des Kompositums MN der linear disjunkten Zwischenkörper M, N isomorph zum Produkt der Galoisgruppen G(M/K), G(N/K) von M und N. Lässt man die lineare Disjunktheit weg, erhält man nur die Isomorphie von G(MN/K) zu einer Untergruppe des Produkts G(M/K) × G(N/K).

Verwandte BegriffeBearbeiten

  • Eine Körpererweiterung   ist genau dann regulär, wenn   linear disjunkt zu einem algebraischen Abschluss   von   ist.
  • Eine Erweiterung   eines Körpers   der Charakteristik   ist genau dann separabel, wenn   linear disjunkt zu
 
ist.

LiteraturBearbeiten