Lemma von Itō

mathematischer Satz

Das Lemma von Itō (auch Itō-Formel), benannt nach dem japanischen Mathematiker Itō Kiyoshi, ist eine zentrale Aussage in der stochastischen Analysis. In seiner einfachsten Form ist es eine Integraldarstellung für stochastische Prozesse, die Funktionen eines Wiener-Prozesses sind. Es entspricht damit der Kettenregel bzw. Substitutionsregel der klassischen Differential- und Integralrechnung.

Version für Wiener-ProzesseBearbeiten

Sei   ein (Standard-)Wiener-Prozess und   eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt

 

Dabei ist das erste Integral als Itō-Integral und das zweite Integral als ein gewöhnliches Riemann-Integral (über die stetigen Pfade des Integranden) zu verstehen.

Für den durch   für   definierten Prozess lautet diese Darstellung in Differentialschreibweise

 

Version für Itō-ProzesseBearbeiten

Ein stochastischer Prozess   heißt Itō-Prozess, falls

 

für zwei stochastische Prozesse  ,   gilt (genaueres dazu unter stochastische Integration). In Differentialschreibweise:

 

Ist   eine in der ersten Komponente einmal und in der zweiten zweimal stetig differenzierbare Funktion, so ist auch der durch   definierte Prozess ein Itō-Prozess, und es gilt[1]

 

Hierbei bezeichnen   und   die partiellen Ableitungen der Funktion   nach der ersten bzw. zweiten Variablen. Die zweite Darstellung folgt aus der ersten durch Einsetzen von   und Zusammenfassen der  - und  -Terme.

Version für SemimartingaleBearbeiten

Sei   ein  -wertiges Semimartingal und sei  . Dann ist   wieder ein Semimartingal und es gilt

 

Hierbei ist   der linksseitige Grenzwert und   der zugehörige Sprungprozess. Mit   wird die quadratische Kovariation der stetigen Anteile der Komponenten   und   bezeichnet. Falls   ein stetiges Semimartingal ist, verschwindet die letzte Summe in der Formel und es gilt  .

BeispieleBearbeiten

  • Für   gilt  .
 
eine Lösung der stochastischen Differentialgleichung von Black und Scholes
 
ist.
Hierzu wählt man  , also  .
Dann ergibt das Lemma mit  :
 
  • Ist   ein  -dimensionaler Wiener-Prozess und   zweimal stetig differenzierbar, dann gilt für  
 ,
wobei   den Gradienten und   den Laplace-Operator von   bezeichnen.

LiteraturBearbeiten

  • Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations (2nd edition), Springer, 2004, ISBN 3-540-00313-4.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Hui-Hsiung Kuo: Introduction to Stochastic Integration. Springer, 2006, ISBN 978-0387-28720-1, S. 103 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).