Lebesguezahl

Kennzahl in der algebraischen Topologie

Eine Lebesguezahl ist eine (nicht eindeutige) Zahl, die man einer offenen Überdeckung eines kompakten metrischen Raums zuordnen kann. Benannt wurde sie nach dem französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue.

Sie dient oft als Hilfsmittel, wenn Endlichkeitsbedingungen gegeben sind.

Satz von der Existenz

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Der Satz von der Existenz einer Lebesguezahl oder das Lemma von Lebesgue ist ein Lemma aus dem Gebiet der Topologie.

Er besagt, dass für jeden kompakten metrischen Raum   mit Metrik   gilt:

Zu jeder offenen Überdeckung   existiert eine Zahl   sodass jede Teilmenge   mit Durchmesser   in einer Überdeckungsmenge   enthalten ist, also  . Eine solche Zahl   heißt Lebesguezahl der Überdeckung   für  .

Jede kleinere Zahl ist somit natürlich auch eine Lebesguezahl zu dieser Überdeckung und diesem Raum.

Wenn  , kann jede Zahl   gewählt werden, da ja alle Teilmengen   in einer Überdeckungsmenge enthalten sind.

Sei also nun  . Da   kompakt ist, lässt sich aus   eine endliche Teilüberdeckung wählen, sei also   eine (endliche) Überdeckung von X.

Für alle  , setze   und definiere eine Funktion   durch  .

Für ein beliebiges, aber festes   wähle nun   so, dass  . Wähle nun ein   klein genug, sodass die  -Umgebung von   in der gewählten Überdeckungsmenge liegt, also  . Nun ist  , also ist  . Die Funktion   ist somit auf ganz   positiv.

Da   stetig und auf einem Kompaktum definiert ist, nimmt es ein Minimum   an. Dieses ist die gesuchte Lebesguezahl:

Sei   eine Teilmenge mit Durchmesser kleiner  . Für jedes   liegt   nun in der  -Umgebung von  . Wähle nun ein beliebiges  .

Sei nun   so gewählt, dass   für   maximal wird. Nun ist   und die  -Umgebung   von   und damit   liegen ganz in   aus der Überdeckung  . Damit ist jetzt also ein   mit der Eigenschaft der Lebesguezahl gefunden.

Anwendungen

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Die Lebesguezahl wird beim Beweis verschiedener grundlegender Sätze der Algebraischen Topologie verwendet, so beim Beweis des Satzes von Seifert-van Kampen oder der Mayer-Vietoris-Sequenz und des Ausschneidungsaxioms der singulären Homologie.

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