Reflektive Unterkategorie

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Eine reflektive Unterkategorie ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine Unterkategorie mit einer zusätzlichen Eigenschaft. Die Objekte der Unterkategorie entstehen aus den Objekten der Oberkategorie durch einen funktoriellen Prozess, den man sich als eine Art der Vervollständigung vorstellen kann.

Definition

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Es sei   eine Unterkategorie von  .   heißt reflektiv (in  ), wenn der Inklusionsfunktor   rechtsadjungiert ist. Ein zu   linksadjungierter Funktor   heißt Reflektor.

Dual dazu nennt man eine Unterkategorie   von   koreflektiv (in  ), wenn der Inklusionsfunktor   linksadjungiert ist. Ein zu   rechtssadjungierter Funktor   heißt Koreflektor.[1][2][3]

Beispiele

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  • Sei   die Kategorie der Integritätsringe mit den injektiven, einserhaltenden Ringhomomorphismen. Dann ist die Unterkategorie   der Körper eine reflektive Unterkategorie von  . Ein Reflektor ist der Funktor  , der jedem Integritätsring seinen Quotientenkörper (als Menge von Äquivalenzklassen von Paaren des Ringes) zuordnet.[4] In diesem Beispiel vervollständigt der Reflektor den Integritätsring um die fehlenden Inversen zu einem Körper.
  • Gegenbeispiel: Der algebraische Abschluss eines Körpers ist kein Reflektor, genauer: Die Unterkategorie der algebraisch abgeschlossenen Körper ist nicht reflektiv in der Kategorie der Körper.[7]
  • Die Kategorie der abelschen Torsionsgruppen ist koreflektiv (aber nicht reflektiv) in der Kategorie der abelschen Gruppen. Die Bildung der Torsionsuntergruppe ist ein Koreflektor.[8]
  • Die Kategorie der lokal zusammenhängenden Räume ist eine koreflektive Unterkategorie der Kategorie aller topologischen Räume. Ein Koreflektor ist der Übergang zur gröbsten lokal zusammenhängenden Topologie, die feiner als die gegebene ist.

Eigenschaften

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  • Reflektoren bzw. Koreflektoren sind bis auf natürliche Isomorphie eindeutig bestimmt. Das liegt einfach daran, dass die Links- bzw. Rechtsadjungierte eines Funktors, wenn sie existiert, bis auf natürliche Isomorphie eindeutig bestimmt ist.
  • Um Reflektoren als Vervollständigungen verstehen zu können, sollte die Vervollständigung, das heißt die Anwendung des Reflektors, auf ein Objekt der reflektiven Unterkategorie nichts Neues bringen. Mit der Zusatzvoraussetzung, dass die Unterkategorie voll ist, das heißt, dass der Inklusionsfunktor ein voller Funktor ist, gilt das tatsächlich:[9]
Es sei   eine volle und reflektive Unterkategorie von   mit Reflektor  . Dann ist die Einschränkung von   auf   natürlich isomorph zum identischen Funktor  .
Auf die Voraussetzung der Vollheit kann hier nicht verzichtet werden.[10] Daher ist etwa im Lehrbuch von M. Brandenburg[11] die Vollheit bereits in die Definition der reflektiven Unterkategorie eingebaut.
  • Ist   eine volle und reflektive Unterkategorie von   und ist   kovollständig, so ist auch   kovollständig.[12]
Dual gilt: Ist   eine volle und koreflektive Unterkategorie von   und ist   vollständig, so ist auch   vollständig.
Da die Kategorie der topologischen Räume   kovollständig ist und die Kategorie der kompakten Hausdorffräume   nach obigem Beispiel voll und reflektiv in   ist, ist wegen dieser Eigenschaft auch die Kategorie der kompakten Hausdorffräume kovollständig. Man beachte aber, dass ein in   gebildeter Kolimes (etwa ein Koprodukt) von kompakten Hausdorffräumen im Allgemeinen nicht mit dem in   gebildeten übereinstimmt.

Einzelnachweise

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  1. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Kapitel X: Reflective Subcategories, Definition 36.1 (2)
  2. Bodo Pareigis: Kategorien und Funktoren, Teubner-Verlag 1969, Kapitel 2.4: Reflexive Unterkategorien [sic]
  3. Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician, Springer-Verlag 1997, ISBN 0-387-98403-8, Kapitel IV.3: Reflective Subcategories
  4. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-662-53520-2, Beispiel 7.6.5
  5. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-662-53520-2, Beispiel 7.6.8
  6. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Kapitel X, Beispiel 36.2 (3)
  7. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Kapitel X, Beispiel 36.2 (2)
  8. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-662-53520-2, Beispiel 7.6.3
  9. Bodo Pareigis: Kategorien und Funktoren, Teubner-Verlag 1969, Lemma in Kapitel 2.4
  10. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Kapitel X, Paragraph 36
  11. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-662-53520-2, Kapitel 7.6: Reflektive Unterkategorien
  12. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-662-53520-2, Satz 7.6.7