Kommensurabilität (Mathematik)

Begriff aus der Mathematik

In der Mathematik wird der Begriff Kommensurabilität in verschiedenen Zusammenhängen verwendet, neben der klassischen Verwendung (siehe Inkommensurabilität (Mathematik)) zum Beispiel auch in Gruppentheorie und Topologie.

Klassische Verwendung des Begriffs KommensurabilitätBearbeiten

Zwei reelle Zahlen a und b heißen kommensurabel (lat. zusammen messbar), wenn sie ganzzahlige Vielfache einer geeigneten dritten reellen Zahl c sind.

Diese Bedingung ist (für  ) äquivalent dazu, dass das Verhältnis   von   und   eine rationale Zahl ist:

 .

(Außerdem ist   zu jeder reellen Zahl kommensurabel.)

Zum Beispiel sind alle rationalen Zahlen zueinander kommensurabel. Die Seite   eines Quadrats und die Länge   seiner Diagonalen sind inkommensurabel, denn nach dem Satz des Pythagoras ist  , und die Annahme, dass dies eine Bruchzahl ist, lässt sich widerlegen. Hingegen sind   und   zueinander kommensurabel.

GruppentheorieBearbeiten

Untergruppen einer gegebenen GruppeBearbeiten

Sei   eine gegebene Gruppe, dann heißen zwei Untergruppen   zueinander kommensurabel, wenn der Durchschnitt   endlichen Index sowohl in   als in   hat.

Zum Beispiel sind aller Untergruppen der Gruppe der ganzen Zahlen zueinander kommensurabel: alle Untergruppen von   sind von der Form   für geeignete  , der Durchschnitt   hat endlichen Index   bzw.   in   bzw.  .

Abstrakte GruppenBearbeiten

Zwei Gruppen   heißen zueinander kommensurabel, wenn es einen Isomorphismus   zweier Untergruppen   endlichen Indexes gibt.

Dies ist insbesondere der Fall für kommensurable Untergruppen einer gegebenen Gruppe, hier kann man   und   setzen.

Zwei Untergruppen einer gegebenen Gruppe, die als abstrakte Gruppen kommensurabel sind, müssen nicht unbedingt im Sinne des vorherigen Abschnitts kommensurable Untergruppen sein.

Geometrische GruppentheorieBearbeiten

Auf endlich erzeugten Gruppen kann man mit der Wort-Metrik eine Struktur eines metrischen Raumes auf dem Cayley-Graphen definieren. Kommensurable Gruppen haben quasi-isometrische Cayley-Graphen, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Es gibt aber eine Reihe von Spezialfällen, in denen auch die Umkehrung gilt. Zum Beispiel ist eine Gruppe genau dann quasi-isometrisch zu  , wenn sie (abstrakt) kommensurabel zu   ist; oder sie ist quasi-isometrisch zu einer freien Gruppe genau dann, wenn sie zur freien Gruppe (abstrakt) kommensurabel ist. Wenn   Fundamentalgruppen zweier nicht-kompakter hyperbolischer Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens und gleicher Dimension   sind, dann sind sie quasi-isometrisch genau dann, wenn sie (als Untergruppen der Isometriegruppe des hyperbolischen Raumes) zueinander kommensurabel sind.[1] Hingegen sind alle Fundamentalgruppen kompakter hyperbolischer Mannigfaltigkeiten einer gegebenen Dimension zueinander quasi-isometrisch, sie sind aber nicht immer zueinander kommensurabel.

TopologieBearbeiten

Zwei topologische Räume   heißen kommensurabel, wenn es einen topologischen Raum   mit endlichen Überlagerungen   gibt.

Zum Beispiel sind verschiedene Linsenräume zueinander kommensurabel, weil sie alle von der Sphäre endlich überlagert werden.

Der topologische und der gruppentheoretische Kommensurabilitätsbegriff hängen wie folgt zusammen. Wenn zwei topologische Räume kommensurabel zueinander sind, dann sind ihre Fundamentalgruppen kommensurabel, denn   und   enthalten jeweils eine Untergruppe von endlichem Index, die zu   isomorph ist.

Für Räume, die eine gemeinsame universelle Überlagerung   besitzen, zum Beispiel hyperbolische Mannigfaltigkeiten einer gegebenen Dimension, gilt auch die Umkehrung: zwei solche Räume sind kommensurabel genau dann, wenn ihre Fundamentalgruppen als Untergruppen der Gruppe der Homöomorphismen von   kommensurabel sind.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Richard Evan Schwartz: The quasi-isometry classification of rank one lattices. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 82 (1995), 133–168 (1996).