Köcher (Mathematik)

eine Menge Q₀ von Punkten und ein Menge Q₁ von Pfeilen sowie zwei Abbildungen s, t: Q₁ → Q₀, die jedem Pfeil seinen Startpunkt und seinen Zielpunkt zuordnen

In der Mathematik bezeichnet ein Köcher (englisch Quiver) einen gerichteten Graphen, d. h., ein Köcher besteht aus einer Menge von Punkten und einer Menge von Pfeilen sowie zwei Abbildungen , die jedem Pfeil seinen Startpunkt (s für source) und seinen Zielpunkt (t für target) zuordnen.

Die Bezeichnung eines gerichteten Graphen als Köcher ist nur in der Darstellungstheorie üblich.

Darstellung eines KöchersBearbeiten

In der Darstellungstheorie besteht eine Darstellung eines Köchers   aus einer Familie   von Vektorräumen und einer Familie   von Vektorraumhomomorphismen. Die Vektorräume sollen dabei solche über einem fest gewählten Körper sein.

Ein Morphismus,   zwischen zwei Darstellungen eines Köchers   ist eine Familie linearer Abbildungen  , so dass für jeden Pfeil   von   nach   gilt:  .

Mit Hilfe dieser Definitionen bilden die Darstellungen eines Köchers eine Kategorie. In dieser ist ein Morphismus   genau dann ein Isomorphismus, wenn   für jeden Punkt   des Köchers invertierbar ist.

BeispielBearbeiten

 

Darstellung eines Köchers mit zwei Vektorräumen   und einem Vektorraumhomomorphismus  .

EigenschaftenBearbeiten

Mit   wird der dem Köcher   zugrunde liegende ungerichtete Graph bezeichnet (d. h. anschaulich einfach: man macht die Pfeile zu Kanten). Ein Köcher heißt zusammenhängend, wenn der zugrunde liegende ungerichtete Graph zusammenhängend ist.

Eine Darstellung eines Köchers heißt zerlegbar, wenn sie entweder trivial ist (d. h. nur aus Nullvektorräumen und Nullmorphismen besteht) oder wenn sie als direkte Summe zweier nicht-trivialer Unterdarstellungen geschrieben kann. Andernfalls heißt die Darstellung unzerlegbar.

Ein Köcher ist von endlichem Darstellungstyp, wenn er bis auf Isomorphie nur endlich viele unzerlegbare Darstellungen hat.

Satz von GabrielBearbeiten

Ein zusammenhängender Köcher   ist genau dann von endlichem Darstellungstyp, wenn   ein Dynkin-Diagramm vom Typ   oder   ist (Pierre Gabriel 1972).

Auslander-Reiten-TheorieBearbeiten

Zu einer endlich-dimensionalen  -Algebra über einem Körper   kann ein sogenannter Auslander-Reiten-Köcher definiert werden, wobei die Punkte des Köchers die Isomorphieklassen unzerlegbarer Moduln der  -Algebra und die Pfeile sogenannte irreduzible Abbildungen zwischen den Moduln sind. Die Auslander-Reiten-Theorie führt damit schließlich Methoden der Homologietheorie in die Darstellungstheorie von Köchern ein.

LiteraturBearbeiten