Gewicht (Funktionalanalysis)

Gewichte werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um eine Verallgemeinerung eines Zustandes auf einer C*-Algebra. Insbesondere in der Theorie der Von-Neumann-Algebren kann die Tomita-Takesaki-Theorie mittels gewisser Gewichte über den Fall der σ-endlichen Von-Neumann-Algebren hinaus ausgedehnt werden.

Definition

Es sei $A$ eine C*-Algebra, $A^{+}$ der positive Kegel, das heißt die Menge aller Elemente der Form $a^{*}a,\,a\in A$. Ein Gewicht auf $A$ ist eine Abbildung $\omega :A^{+}\rightarrow [0,\infty ]$ mit

• $\omega (a+b)=\omega (a)+\omega (b)$ für alle $a,b\in A^{+}$
• $\omega (\lambda a)=\lambda \omega (a)$ für alle $\lambda \in \mathbb {R} _{0}^{+}$ und $a\in A^{+}$.

Dabei werden die üblichen Rechenregeln für $\infty$ verwendet, das heißt $x+\infty =\infty +x=\infty$ für alle $x\in \mathbb {R} _{0}^{+}$, $x\cdot \infty =\infty \cdot x=\infty$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{+}$ und $0\cdot \infty =\infty \cdot 0=0$. Zu einem Gewicht $\omega$ definiert man

$A_{+}^{\omega }:=\{a\in A^{+}|\,\omega (a)<\infty \}$

$A^{\omega }$ = lineare Hülle von $A_{+}^{\omega }$

$L_{\omega }:=\{a\in A^{+}|\,\omega (a^{*}a)=0\}$

$A_{2}^{\omega }:=\{a\in A|\,\omega (a^{*}a)<\infty \}$

Dann sind $A_{2}^{\omega }$ und $L_{\omega }$ Linksideale und $A^{\omega }$ ist eine Unter-C*-Algebra in $A$.

Gewichte mit zusätzlichen Eigenschaften

Für Gewichte werden folgende Eigenschaften betrachtet

• Ein Gewicht $\omega$ heißt dicht-definiert, falls $A_{+}^{\omega }\subset A^{+}$ bzgl. der Normtopologie dicht ist.
• Ein Gewicht $\omega$ auf einer Von-Neumann-Algebra heißt semi-endlich, falls $A_{+}^{\omega }\subset A^{+}$ bzgl. der schwachen Operatortopologie dicht ist.
• Ein Gewicht $\omega$ heißt treu, falls $L_{\omega }=\{0\}$ ist.
• Ein Gewicht $\omega$ heißt von unten halbstetig, falls $\{a\in A^{+}|\,\omega (a)\leq \alpha \}$ für jedes $\alpha \in \mathbb {R} _{0}^{+}$ abgeschlossen ist.
• Ein Gewicht $\omega$ auf einer Von-Neumann-Algebra $A$ heißt normal, wenn folgendes gilt: Ist $(a_{i})_{i\in I}$ ein monoton wachsendes Netz in $A^{+}$ mit Supremum $a\in A^{+}$, so gilt $\textstyle \sup _{i\in I}\omega (a_{i})=\omega (a)$.
• Ein Gewicht $\omega$ heißt Spurgewicht, falls zusätzlich $\omega (uau^{*})=\omega (a)$ für alle unitären Elemente $u\in A$.

Beispiele

Beschränkte Gewichte

Ein Funktional $f$ auf einer C*-Algebra $A$ heißt positiv, falls $f(a^{*}a)\geq 0$ für alle $a\in A$. Dann ist die Einschränkung $f|_{A^{+}}$ offenbar ein Gewicht mit der Besonderheit, dass das Bild in $[0,\infty )$ liegt. Ist umgekehrt $\omega$ ein von 0 verschiedenes Gewicht mit Bild in $\mathbb {R} _{0}^{+}$, das heißt mit $A_{+}^{\omega }=A^{+}$, so gibt es ein positives Funktional $f$ mit $\omega =f|_{A^{+}}$

Summen von Funktionalen

Ist $(f_{i})_{i\in I}$ eine Familie positiver Funktionale auf $A$, so ist durch

$\omega (a):=\sum _{i\in I}f_{i}(a),\quad a\in A^{+}$

ein Gewicht aus $A$ erklärt.

Ist zum Beispiel $(\xi _{i})_{i\in I}$ einer Orthonormalbasis eines Hilbertraums $H$, so ist die Summe der zugehörigen Vektorzustände ein Gewicht auf $L(H)$, der Von-Neumann-Algebra der stetigen, linearen Operatoren auf $H$. Durch

$\omega (a):=\sum _{i\in I}\langle a\xi _{i},\xi _{i}\rangle ,\quad a\in A^{+}$.

ist ein normales Spurgewicht definiert und man kann zeigen, dass dieses nicht von der Auswahl der Orthonormalbasis abhängt. Es ist

$L(H)_{+}^{\omega }:={\mathcal {S}}_{1}(H)^{+}$ die Menge der positiven Elemente der Spurklasse,

$L_{\omega }:=\{0\}$, das heißt $\omega$ ist treu,

$L(H)_{2}^{\omega }:={\mathcal {S}}_{2}(H)$ die H*-Algebra der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Maße

Es sei $\mu$ ein positives Maß auf einem lokalkompakten Hausdorffraum $X$ und $A=C_{0}(X)$ die C*-Algebra der stetigen Funktionen auf $X$, die im Unendlichen verschwinden. Dann ist die Abbildung

$\omega :C_{0}(X)^{+}\rightarrow [0,\infty ],\quad f\mapsto \int _{X}f\mathrm {d} \mu$

ein Gewicht. Beschränkte Maße führen zu beschränkten Gewichten, das heißt zu positiven linearen Funktionalen.

Anwendungen und Eigenschaften

Normalität

Wie bei den normalen Zuständen gibt es auch für Gewichte verschiedene Charakterisierungen der Normalität. Für ein Gewicht $\omega$ auf einer Von-Neumann-Algebra $A$ sind äquivalent

• $\omega$ ist normal, das heißt für monotone Netze $(a_{i})_{i\in I}\to a\in A^{+}$ gilt $\omega (a_{i})\to \omega (a)$.
• $\omega$ ist additiv, das heißt für jede Familie $(a_{i})_{i\in I}$ in $A^{+}$ mit $\textstyle \sum _{i\in I}a_{i}=a\in A^{+}$ gilt $\textstyle \omega (\sum _{i\in I}a_{i})=\sum _{i\in I}\omega (a_{i})$.
• Ist $(a_{i})_{i\in I}$ ein ultraschwach konvergentes Netz mit Limes $a$ in $A^{+}$, so ist $\omega (a)\leq \textstyle \limsup _{i\in I}\omega (a_{i})$.
• Es gibt eine Familie $(\varphi _{i})_{i\in I}$ positiver, normaler Funktionale mit $\textstyle \omega (a)=\sup _{i\in I}\varphi _{i}(a)$ für alle $a\in A^{+}$.
• Es gibt eine Familie $(\varphi _{i})_{i\in I}$ positiver, normaler Funktionale mit $\textstyle \omega (a)=\sum _{i\in I}\varphi _{i}(a)$ für alle $a\in A^{+}$.

GNS-Konstruktion

Die für Zustände bekannte GNS-Konstruktion kann man im Wesentlichen auch für Gewichte $\omega$ auf einer C*-Algebra $A$ durchführen. Durch die Formel

$\langle a+L_{\omega },b+L_{\omega }\rangle :=\omega (b^{*}a),\quad a,b\in A_{2}^{\omega }$

wird ein Skalarprodukt auf $A_{2}^{\omega }/L_{\omega }$ definiert, die Vervollständigung ist ein Hilbertraum $H_{\omega }$. Die durch

$b+L_{\omega }\mapsto ab+L_{\omega },\quad a\in A,b\in A_{2}^{\omega }$

definierten Operatoren auf $A_{2}^{\omega }/L_{\omega }$ setzen sich zu stetigen, linearen Operatoren $\pi _{\omega }(a)$ auf $H_{\omega }$ fort, so dass

$\pi _{\omega }:A\rightarrow L(H_{\omega })$

eine Hilbertraum-Darstellung definiert. Ist $\omega$ treu und semi-endlich, so ist $\pi _{\omega }$ treu. Ist $\omega$ ein normales Gewicht auf einer Von-Neumann-Algebra, so ist $\pi _{\omega }(A)$ ebenfalls eine Von-Neumann-Algebra und die Darstellung $\pi _{\omega }$ ist normal.

Tomita-Takesaki-Theorie

Auf einer Von-Neumann-Algebra gibt es stets treue, normale und semi-endliche Gewichte. Auf dem Bild der zugehörigen GNS-Darstellung können gewisse Automorphismen definiert werden, die zur Tomita-Takesaki-Theorie führen.