Fleißiger Biber

Turingmaschine für eine endliche, aber nicht berechenbar Zahl

Fleißige Biber (auch englisch busy beaver) sind spezielle Turingmaschinen, die möglichst viele Einsen auf das Band schreiben und die nach einer endlichen Anzahl Rechenschritte den Halt-Zustand einnehmen (also anhalten). Die Radó-Funktion (auch Fleißiger-Biber-Funktion) gibt die maximale Anzahl der Einsen an, die ein fleißiger Biber mit einer gegebenen Anzahl von Zuständen schreiben kann. Beides wurde erstmals 1962[1] vom ungarischen Mathematiker Tibor Radó betrachtet.

Die Fleißiger-Biber-Funktion ist in der theoretischen Informatik ein Standardbeispiel für eine wohldefinierte, aber im Allgemeinen nicht berechenbare Funktion.[2]

Formelle Betrachtung

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Definition

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Nach Radó ist ein fleißiger Biber eine Turingmaschine, die wie üblich   Zustände und einen Halt-Zustand einnehmen kann. Im Gegensatz zur allgemeinen Definition einer Turingmaschine unterliegt er jedoch speziellen Regeln.[1] So muss ein fleißiger Biber als Bewegungsschritt immer entweder nach links oder rechts auf dem Band gehen. Es gibt hier also keine Anweisung zum Verharren auf einem Feld. Ein fleißiger Biber erwartet auch keine leeren Felder, sondern nur welche, die bereits einen Wert aus dem ihm bekannten zweielementigen Alphabet   enthalten. Das Band, auf das der fleißige Biber aufgesetzt wird, ist zuvor vollständig mit Nullen gefüllt. Ein fleißiger Biber muss nach einer endlichen Anzahl Schritte den Halt-Zustand einnehmen, darf also nicht in eine Endlosschleife geraten. Er muss nach dem Anhalten die maximale Anzahl   von Einsen geschrieben haben, verglichen mit allen anderen Turingmaschinen mit ebenfalls   Zuständen, die nach den gleichen Regeln arbeiten. Nur Turingmaschinen, die nicht halten, könnten mehr Einsen schreiben, wären dann aber keine fleißigen Biber.

Fleißiger-Biber-Funktion

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Über die maximale Anzahl   von Einsen, die ein fleißiger Biber mit   Zuständen schreibt, ist der Wert der Fleißiger-Biber-Funktion (auch Radó-Funktion) an der Stelle   definiert:  .

Nicht lösbares Problem

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Die Bestimmung der fleißigen Biber ist ein Problem, das nicht allgemein (für alle  ) algorithmisch lösbar ist. So ist nicht generell entscheidbar, ob eine gegebene Turingmaschine mit   Zuständen tatsächlich eine maximale Anzahl von Einsen auf das Band schreibt. Für einzelne Turingmaschinen geringer Komplexität ist das allerdings möglich. Also ist die Menge der Werte von   weder entscheidbar noch rekursiv aufzählbar, obwohl   wohldefiniert ist. Da auch das Komplement dieser Menge nicht rekursiv aufzählbar ist, wird diese Menge gerne als Beispiel für eine Sprache gewählt, die nicht in der ersten Stufe der arithmetischen Hierarchie liegt.

Wegen dieser Eigenschaften der Wertemenge ist die Funktion   nicht berechenbar. Man kann außerdem zeigen, dass ihr asymptotisches Wachstum stärker ist als das jeder berechenbaren Funktion.

Praktische Betrachtung

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In der Praxis hat sich gezeigt, dass schon für   eine Erkenntnis über den Wert   realistisch gesehen nicht mehr möglich zu sein scheint. Dazu müsste man für jede einzelne Turingmaschine mit   Zuständen jeweils herausfinden, nach wie vielen Schritten sie hält, oder anderenfalls beweisen, dass sie das nicht tut. Für eine gegebene Anzahl   von Zuständen (plus einem Haltezustand) gibt es bei einem Alphabet mit zwei Zeichen   verschiedene Turingmaschinen, denn für jeden der   Eingangszustände muss jeweils für jedes der beiden möglichen gelesenen Symbole festgelegt werden, welches der beiden Symbole auf das Band geschrieben werden soll und in welche Richtung der Lesekopf bewegt werden soll und welchen der   möglichen Zustände die Turingmaschine danach annehmen soll. Schon bei   möglichen Eingangszuständen müssen somit   verschiedene Turingmaschinen betrachtet werden. Für   ist die aktuell bekannte Untergrenze von Schritten bereits weit größer als die Anzahl der Atome im beobachtbaren Universum, außerdem müssen für den Nachweis Collatz-ähnliche Probleme gelöst werden.[3]

Der Bulgare Georgi Georgiev veröffentlichte 2003 eine Untersuchung, in der er fleißige Biber daraufhin analysierte, ob sie anhalten würden oder nicht.[4] Für   entzogen sich lediglich knapp über 40 fleißige Biber einem gesicherten Ergebnis, da sie aufgrund besonderer Verhaltensweisen nicht mit den von Georgiev angewandten Methoden abschließend zu analysieren waren. Von denen, die als terminierend (anhaltend) bestimmt wurden, schreibt keiner mehr als 4098 Einsen auf das Band.

In internationaler Zusammenarbeit via The Busy Beaver challenge wurden ab 2022 verbleibende Maschinen für   mit irregulärem Verhalten untersucht und schließlich durch mxdys (Pseudonym) ein algorithmischer Beweis in Coq zusammengestellt der den bereits 1989 von Jürgen Buntrock und Heiner Marxen gefundenen Rekordhalter für BB(5) final bestätigt hat.[5]

Zustände   Turingmaschinen     Quelle
1 64 1 (1962; Radó)
2 20736 4 6 (1962; Radó)
3 16777216 6 21 (1965; Lin, Radó)
4 2,56×1010 13 107 (1972; Weimann, Casper, Fenzel)
5 ≈ 6,34×1013 4098 47176870 (2024; Kooperation)
6 ≈ 2,32×1017 > 10↑↑15 (Potenzturm 1010..10 von 15 Zehnern) (2022; Pavel Kropitz[6])
7 ≈ 1,18×1021 Abschätzung unrealistisch

Beispiele

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Fleißiger Biber mit einem Zustand

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Die partielle Überführungsfunktion   ist wie folgt definiert:

 
Fleißiger Biber mit einem Zustand
aktueller
Zustand
geles.
Symbol
  schr.
Symbol
neuer
Zustand
Kopf-
richtung
  0 1   R

  durchläuft folgende Zustände, wobei die aktuelle Kopfposition fett gedruckt ist:

Schritt Zust. Band
1   00
hält   10

Fleißiger Biber mit 2 Zuständen

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Die Überführungsfunktion   ist wie folgt definiert:

 
Fleißiger Biber mit 2 Zuständen
aktueller
Zustand
geles.
Symbol
  schr.
Symbol
neuer
Zustand
Kopf-
richtung
  0 1   R
  1 1   L
  0 1   L
  1 1   R

  durchläuft folgende Zustände, wobei die aktuelle Kopfposition fett gedruckt ist:

Schritt Zust. Band
1   …0000000…
2   …0001000…
3   …0001100…
4   …0001100…
5   …0011100…
6   …0111100…
hält   …0111100…

Fleißiger Biber mit 3 Zuständen

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Die Überführungsfunktion   ist wie folgt definiert:

 
Fleißiger Biber mit 3 Zuständen
aktueller
Zustand
geles.
Symbol
  schr.
Symbol
neuer
Zustand
Kopf-
richtung
  0 1   R
  1 1   R
  0 0   R
  1 1   R
  0 1   L
  1 1   L

  durchläuft folgende Zustände, wobei die aktuelle Kopfposition fett gedruckt ist:

Schritt Zust. Band
1   000000
2   010000
3   010000
4   010100
5   011100
6   011100
7   111100
8   111100
Schritt Zust. Band
9   111100
10   111100
11   111100
12   111101
13   111111
14   111111
hält   111111

Die Funktion S

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Radó definierte zusätzlich eine Funktion  , deren Wert die maximale Anzahl an Schritten einer haltenden Turingmaschine mit zweielementigem Alphabet und   Zuständen ist. Auch diese Funktion   ist nicht berechenbar; wäre sie es, so wäre das Halteproblem mit leerem Eingabeband entscheidbar, denn eine Turingmaschine mit   Zuständen, die mehr als   Schritte macht, hält nie.

Da in jedem Schritt maximal eine Eins geschrieben werden kann, gilt

 .

Zwischen den Funktionen   und   besteht weiterhin die folgende Beziehung.

 .[7]

Ebenfalls nicht berechenbare Funktion

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Eine ebenfalls nicht berechenbare Funktion ergibt sich, wenn die zusätzliche Beschränkung eingeführt wird, dass alle Einsen eine zusammenhängende Kette bilden müssen.

 
Bildliche Beschreibung eines fleißigen Kleinbibers

Als Bezeichnung dafür hat sich   eingebürgert.

1965 hat C. Dunham eine weitere Variante der Funktion des fleißigen Bibers angegeben.[8]   ist definiert als die maximale Anzahl Einsen, die eine Turingmaschine mit zweielementigem Alphabet und   Zuständen schreiben kann, wenn sie auf ein Band mit einem Block von   Einsen angesetzt wird und dabei hält. Wäre diese Funktion berechenbar, so gäbe es auch eine Turingmaschine M mit zweielementigem Alphabet, die   berechnet. Diese Turingmaschine habe   Zustände. Dann wäre  , wobei das Gleichheitszeichen gerade die Definition von M ist, und das  -Zeichen daher rührt, dass M ja eine Maschine mit   Zuständen ist und angesetzt auf   (d. h. auf einen Block aus   Einsen) hält und daher nach Definition von D die Ungleichung   erfüllen muss. Dieser Widerspruch zeigt die Nicht-Berechenbarkeit von D.

Literatur

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  • A. K. Dewdney: The (new) Turing Omnibus. 66 Excursions in Computer Science. Computer Science Press, New York NY 1993, überarbeitet 1996, ISBN 0-7167-8271-5.
  • Jochen Ludewig, Uwe Schult, Frank Wankmüller: Chasing the Busy Beaver. Notes and Observations on a competition to find the 5-state Busy Beaver. Universität Dortmund – Abt. Informatik, Dortmund 1983 (Abteilung Informatik, Universität Dortmund. Bericht 159).
  • Heiner Marxen, Jürgen Buntrock: Attacking the Busy Beaver 5. In: Bulletin of the EATCS. 40, Februar 1990, ISSN 0252-9742, S. 247–251.
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Commons: Fleißiger Biber – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

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  1. a b T. Radó: On non-computable functions (Memento vom 27. März 2014 im Internet Archive) (PDF; 3,6 MB; WebArchive vom 27. März 2014), In The Bell System Technical Journal, Band 41, Nr. 3, S. 877–884, Mai 1962
  2. Eckart Zitzler: Dem Computer ins Hirn geschaut: Informatik entdecken, verstehen und querdenken. Springer-Verlag, 2017, ISBN 978-3-662-53666-7, S. 384 f. (google.com [abgerufen am 25. Oktober 2021]).
  3. Antihydra: Maschine mit 6 Zuständen und Collatz-ähnlichem Verhalten bbchallenge.org, Juni 2024, abgerufen am 3. Juli 2024
  4. Busy Beaver nonregular machines for class TM(5)
  5. Ankündigung Nachweis von BB(5) bbchallenge.org, Juli 2024, abgerufen am 3. Juli 2024
  6. Analyse für den BB(6) Rekordhalter 2022 Blog von Shawn Ligocki, Juni 2022, abgerufen am 3. Juli 2024
  7. A. M. Ben-Amram, B. A. Julstrom, U. Zwick: A Note on Busy Beavers and Other Creatures, In Mathematical Systems Theory, 29(4), S. 375–386, Juli / August 1996, doi:10.1007/BF01192693
  8. C. Dunham: A Candidate for the simplest uncomputable function In: Communications of the Association for Computing Machinery (Letter to the Editor) 8, 4, 1965, ISSN 0001-0782, S. 201