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Halteproblem

Fragestellung, ob ein gegebenes Programm jemals endet oder ewig läuft

Das Halteproblem beschreibt eine Frage aus der theoretischen Informatik.

Wenn für eine Berechnung mehrere Rechenschritte nach festen Regeln durchgeführt werden, entsteht eine Berechnungsvorschrift, ein sogenannter Algorithmus. Zur Ausführung von Algorithmen benutzt man in der theoretischen Informatik abstrakte Maschinen. Eine typische abstrakte Maschine ist die Turingmaschine.

Das Halteproblem beschreibt die Frage, ob die Ausführung eines Algorithmus zu einem Ende gelangt. Obwohl das für viele Algorithmen leicht beantwortet werden kann, konnte der Mathematiker Alan Turing beweisen, dass es keinen Algorithmus gibt, der diese Frage für alle möglichen Algorithmen und beliebige Eingaben beantwortet. Diesen Beweis vollzog er an einer Turingmaschine.

Das Halteproblem ist somit algorithmisch nicht entscheidbar. Das Resultat spielt eine grundlegende Rolle in der Berechenbarkeitstheorie.

Der Begriff Halteproblem wurde nicht von Turing geprägt, sondern erst später durch Martin Davis in seinem Buch Computability and Unsolvability.[1]

Inhaltsverzeichnis

BedeutungBearbeiten

In formalen Systemen der Mathematik gibt es beweisbare Aussagen.

Beispiel: Die Summe der Innenwinkel jedes beliebigen ebenen Dreiecks beträgt 180 Grad.

Erreichen formale Systeme einen bestimmten Grad an Komplexität, so lassen sich Aussagen angeben, die man weder beweisen noch widerlegen kann. Der Beweis dieser Eigenschaft wurde 1931 vom österreichischen Mathematiker Kurt Gödel veröffentlicht (Gödelscher Unvollständigkeitssatz).[2] Damit zeigte Gödel die Unmöglichkeit des Hilbertprogramms auf. Mit diesem wollte David Hilbert 1920 die Mathematik auf ein vollständiges und widerspruchsfreies System von Axiomen (unbewiesene Grundannahmen) gründen.

Auch nach den Erkenntnissen von Alan Turing gilt: In jedem formalen System, das Turingmaschinen enthält, lassen sich Aussagen formulieren, die weder bewiesen noch widerlegt werden können. Das Halteproblem beschreibt eine solche Aussage. Aus der Unlösbarkeit des Halteproblems folgt, dass es mathematische Funktionen gibt, die zwar wohldefiniert sind, deren Werte sich jedoch nicht für jeden Parameter berechnen lassen. Ein bekanntes Beispiel für eine solche Funktion ist die Radó-Funktion.

Die Church-Turing-These besagt, dass alles, was intuitiv berechenbar ist, auch von einer Turingmaschine berechenbar ist. Wenn diese Aussage wahr ist, kann das Halteproblem grundsätzlich nicht algorithmisch entschieden werden. Das führt zu der philosophisch weitreichenden Aussage, dass nicht jedes Problem lösbar ist, selbst dann nicht, wenn man alle relevanten Informationen kennt und sich streng an einen mathematisch überzeugenden Formalismus hält.

Aus der Nichtentscheidbarkeit des Halteproblems folgt, dass im Allgemeinen eine automatisierte Bestimmung logischer Feststellungen („dieser Sachverhalt ist wahr“) – durch eine Programmlogik – nicht möglich ist. Insbesondere ist es generell nicht möglich, automatisiert festzustellen, welche Programme jemals zu einem Ende finden (Terminierungsbeweis). Für bestimmte Klassen von Turingmaschinen ist das Halteproblem jedoch entscheidbar (zum Beispiel für Programme ohne Schleifen). Viele in der Praxis vorkommende Programme und Verfahren sind daher so strukturiert, dass auf Basis dieser Struktur ein automatisierter Terminierungsbeweis geführt werden kann.

IllustrationBearbeiten

Bei vielen Programmen ist es leicht, festzustellen, ob sie irgendwann anhalten. Es gibt allerdings auch Programme, bei denen es nach dem gegenwärtigen Wissensstand noch nicht möglich ist, vorherzusagen, ob sie bei jeder möglichen Eingabe anhalten. Das folgende Programm hält für jede Eingabe   (bei       und    ), wenn die bisher unbewiesene Collatz-Vermutung richtig ist. Die Collatz-Vermutung sagt nämlich aus, dass eine solche Schleife früher oder später immer die Zahlenfolge 4, 2, 1 hervorbringen würde, was bei der hier gegebenen Abbruchbedingung "bis n = 1" zum Halten des Programms führen würde.

wiederhole
  falls n gerade:  n := n / 2
  sonst:           n := (3 * n) + 1
bis n = 1

Mathematische BeschreibungBearbeiten

ProblemstellungBearbeiten

Falls das Halteproblem entscheidbar ist, gibt es eine Turingmaschine  , die für jede Turingmaschine   mit jeder Eingabe   entscheidet, ob   irgendwann anhält oder endlos weiterläuft. Die Eingabe für   besteht dabei jeweils aus einer codierten Beschreibung   der Maschine   und deren Eingabe  .

Alan Turing bewies 1937, dass eine solche Maschine   nicht existiert.

BeweisideeBearbeiten

Das Halteproblem ist entscheidbar genau dann, wenn sowohl das Halteproblem als auch sein Komplement semientscheidbar sind. Das Halteproblem ist offensichtlich semientscheidbar: Eine universelle Turingmaschine, die als Eingabe eine Beschreibung   einer Turingmaschine   und eine Zeichenkette   erhält, hält genau dann, wenn   mit Eingabe   hält. Es muss also gezeigt werden, dass das Komplement des Halteproblems nicht semientscheidbar ist, dass es also keine Turingmaschine   gibt, die bei Eingabe   immer dann 1 ausgibt, wenn   mit Eingabe   nicht hält.

g(i,w) w=1 w=2 w=3 w=4 w=5 w=6
i=1 1 U U 1 U 1
i=2 U U U 1 U U
i=3 U 1 U 1 U 1
i=4 1 U U 1 U U
i=5 U U U 1 1 1
i=6 1 1 U U 1 U
g(i,i) 1 U U 1 1 U
f(i) 1 U U 1 1 U
Anschauliche Darstellung der Funktionen g und f. U steht für „undefiniert“.

Dies gelingt durch ein Diagonalargument. Dafür wird zunächst angenommen, das Komplement des Halteproblems sei semientscheidbar. (Der Beweis ist also indirekt.) Anstelle einer Turingmaschine kann man auch die Funktion betrachten, die von ihr berechnet wird. Die Turingmaschine   berechnet die partielle Funktion

 

Die Diagonale von   wird durch die folgende Funktion   berechnet.

 

Sei   die Nummer einer Turingmaschine  , welche die Funktion   berechnet. Der Funktionswert von   an der Stelle   ist also

  • 1, falls  , falls also   bei Eingabe   nicht hält. Das ist allerdings ein Widerspruch, denn   berechnet   und muss also halten und 1 ausgeben.
  • undefiniert, falls   undefiniert ist, falls also   bei Eingabe   hält. Das ist ebenfalls ein Widerspruch, denn   ist an dieser Stelle undefiniert, und   berechnet  .

BeweisskizzeBearbeiten

Der Beweis orientiert sich an der Konstruktion von Marvin Minsky.[3]

Schritt 1: Die Diagonalsprache ist nicht semi-entscheidbarBearbeiten

Die Menge aller Turingmaschinen, die nicht halten, wenn sie ihre eigene Kodierung als Eingabe bekommen, wird als Diagonalsprache bezeichnet. Der Nachweis, dass die Diagonalsprache nicht semientscheidbar ist, geschieht durch einen Widerspruchsbeweis. Man nimmt an, dass eine Maschine   existiert, welche die Diagonalsprache semi-entscheidet, und zeigt, dass dies zu einem logischen Widerspruch führt.

Angenommen, es gäbe eine Turingmaschine  , die bei Eingabe der Beschreibung   einer Turingmaschine   den Wert   ausgibt, wenn   mit Eingabe   nicht hält, und die nicht hält, wenn   bei Eingabe von   hält. Dann müsste   bei Eingabe   halten und   ausgeben, wenn   bei Eingabe   nicht hält, und nicht halten, wenn   bei Eingabe   hält. Das ist ein Widerspruch, eine solche Maschine kann also nicht existieren.

Schritt 2: Das Komplement des Halteproblems ist nicht semi-entscheidbarBearbeiten

Wenn das Komplement des Halteproblems semi-entscheidbar wäre, dann wäre die Diagonalsprache ebenfalls semi-entscheidbar.

Angenommen, es gäbe eine Turingmaschine  , die bei Eingabe der Beschreibung   einer Turingmaschine   und einer Zeichenkette   1 ausgibt, wenn   mit Eingabe   nicht hält, und die nicht hält, wenn   bei Eingabe von   hält. Man darf ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die Eingabe für   die Form   hat. Dabei ist   eine Zeichenkette, die weder in der Beschreibung   der Turingmaschine   noch in deren Eingabe   vorkommt. Aus   kann eine Turingmaschine   konstruiert werden, die die Diagonalsprache semi-entscheidet.   startet bei Eingabe einer Beschreibung   einer Turingmaschine   einfach   mit der Eingabe  .

Wenn   das Komplement des Halteproblems semi-entscheidet, so semi-entscheidet   die Diagonalsprache. Da es eine solche Maschine   nicht geben kann, die Konstruktion von   aus   aber sicher möglich ist, kann es eine solche Maschine   nicht geben.

Schritt 3: Das Halteproblem ist nicht entscheidbarBearbeiten

Wenn das Halteproblem entscheidbar wäre, dann wäre sein Komplement semi-entscheidbar.

Angenommen, es gäbe eine Turingmaschine  , die bei Eingabe der Beschreibung   einer Turingmaschine   und einer Zeichenkette   0 ausgibt, wenn   mit Eingabe   nicht hält, und die 1 ausgibt, wenn   bei Eingabe von   hält. Dann gäbe es auch eine Turingmaschine  , die das Komplement des Halteproblems semi-entscheidet.   startet bei Eingabe einer Beschreibung   einer Turingmaschine   einfach   mit derselben Eingabe  . Wenn   0 ausgibt, so gibt   1 aus. Wenn   1 ausgibt, so geht   in eine Endlosschleife.

Wenn   das Halteproblem entscheidet, so semi-entscheidet   das Komplement des Halteproblems. Da es eine solche Maschine   nicht geben kann, die Konstruktion von   aus   aber sicher möglich ist, kann es eine solche Maschine   nicht geben.

 
Grafische Darstellung der Beweiskonstruktion
 Maschine   
Eingabe  
Maschine  
Eingabe  
Maschine  
Eingabe  
hält nicht hält
 Ergebnisanzeige   
hält
 Ergebnisanzeige   
hält hält
 Ergebnisanzeige   
hält nicht

Eine äquivalente FormulierungBearbeiten

Das Halteproblem mit leerem Eingabeband (englisch blank-tape halting problem, BTHP, auch als Null-Halteproblem bekannt) ist die Frage, ob eine Turingmaschine   bei leerem Eingabeband anhält. Das BTHP ist genauso schwer wie das Halteproblem. Intuitiv ist das der Fall, weil eine Eingabe auch im Startzustand einer Turingmaschine kodiert werden kann.

Offensichtlich kann jede Maschine, die das Halteproblem für jede Turingmaschine   mit jeder Eingabe   entscheidet, auch das BTHP für   entscheiden. Es kann aber auch eine Maschine  , die für jede Turingmaschine das BTHP entscheidet, bereits das allgemeine Halteproblem entscheiden. Um das Halteproblem für die Turingmaschine   mit Eingabe   zu entscheiden, betrachtet   die Turingmaschine  , die wie folgt definiert ist.   schreibt zuerst   auf das Eingabeband, danach verhält sich   wie  .   hält insbesondere genau dann auf dem leeren Band, wenn   mit Eingabe   hält.

LiteraturBearbeiten

  • Alan Turing: On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem, Proceedings of the London Mathematical Society, 2, 42 (1937), S. 230–265. Online-Fassung

WeblinksBearbeiten

  Wikiversity: Halteproblem – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch
  Wiktionary: Halteproblem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Martin Davis: Computability and Unsolvability, McGraw-Hill, New York 1958, Neuauflage 1983, Dover Pubn Inc., ISBN 978-0-486-61471-7
  2. Eine gut verständliche Darstellung der Zusammenhänge und Konsequenzen aus Gödels Arbeiten bietet beispielsweise Douglas R. Hofstadter: Besprechung von Alan Turing: The Enigma, in Metamagicum, Klett-Cotta, Stuttgart 1988, ISBN 3-608-93089-2, S. 519–528.
  3. Vorlesungsskript der Old Dominion University, abgerufen am 13. Juli 2011