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Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)

Bewegungsgleichungen der Rotation starrer Körper

Die Euler’schen Kreiselgleichungen oder uneindeutig Euler’schen Gleichungen sind Bewegungsgleichungen für die Rotation eines starren Körpers. Es sind die Komponenten des für den Starrkörper in seinem Hauptachsensystem aufgeschriebenen Drallsatzes und stellen die wichtigste Grundgleichung der Kreiseltheorie dar.

Wird der Körper einem Drehmoment ausgesetzt, entwickeln sich Kreiselwirkungen, die versuchen die Eigendrehung mit der erzwungenen Drehung in Deckung zu bringen[1]. Die Kreiselwirkungen sind die summierten Drehmomente der Eulerkräfte und Zentrifugalkräfte an allen Massenpunkten des Körpers. Das Moment und die Kreiselwirkungen befinden sich im dynamischen Gleichgewicht, was die Kreiselgleichungen ausdrücken:

Darin sind jeweils für

die von außen angreifenden Drehmomente,
die Hauptträgheitsmomente,
die Drehimpulse,
die Winkelgeschwindigkeiten und
die Winkelbeschleunigungen

im Hauptachsensystem. Gelegentlich wird auch die dazu gehörige Vektorgleichung

mit dem Trägheitstensor als Euler’sche Kreiselgleichung angegeben. Hier bildet „“ die Vektortransformation, „“ das Kreuzprodukt und die relative Zeitableitung im Hauptachsensystem.

Die Drehmomente, Hauptträgheitsmomente und Drehimpulse werden mit einem Bezugspunkt berechnet, für den sich der Massenmittelpunkt oder ein räumlich fester, in einem Inertialsystem ruhender Stützpunkt eignen, siehe Drallsatz am starren Körper.

Die ersten Summanden auf den rechten Seiten, bestehend aus den Winkelbeschleunigungen und Drehimpulsänderungen, resultieren aus den Kreiselwirkungen der Euler-Kräfte und die anderen, in den Winkelgeschwindigkeiten und Drehimpulsen quadratischen Terme berücksichtigen die Kreiselwirkungen der Zentrifugalkräfte. Wenn die Bewegung bekannt ist, dann können aus diesen Gleichungen die Momente berechnet werden, die im Bezugspunkt eingeleitet werden müssen, damit der Körper die vorgegebene Bewegung ausführt.

Die Kreiselgleichungen wurden von Leonhard Euler 1750 aufgestellt und später zum Drallsatz weiterentwickelt.[2]

SpezialfälleBearbeiten

KugelkreiselBearbeiten

Ein Kugelkreisel ist ein Kreisel mit drei identischen Hauptträgheitsmomenten Θ, sodass sich die Kreiselgleichungen dann auf

 

reduzieren. Die Winkelbeschleunigung ist beim Kugelkreisel also parallel zum angreifenden Moment. Beim Kugelkreisel sind die Fliehkräfte im Körper immer im mechanischen Gleichgewicht. Ein Vergleich mit den Bewegungsgleichungen bei einer Translationsbewegung zeigt, dass der Kugelkreisel das genaue Analogon des Massenpunkts bei Rotationsbewegungen ist.

Euler-Poisson-GleichungenBearbeiten

Die Euler-Poisson-Gleichungen sind die spezifischen Kreiselgleichungen für den schweren Kreisel, bei dem das äußere Moment von der Schwerkraft herrührt. Wenn der Bezugspunkt nicht im Massenmittelpunkt des Körpers liegt, muss der Bezugspunkt für die Anwendung der Kreiselgleichungen in einem Inertialsystem ruhen.

Ebene BewegungenBearbeiten

Bei einer ebenen Bewegung um eine Hauptträgheitsachse, beispielsweise die 3-Achse, entfallen Drehungen und Momente um die 1- und 2-Achsen, und die Gleichungen reduzieren sich auf

 

wobei   der Drehwinkel um die 3-Achse ist.

Lösungen der Kreiselgleichungen bei ebenen BewegungenBearbeiten

Im ebenen Fall sind die Kreiselgleichungen oftmals analytisch lösbar, wofür die beiden folgenden Fälle Beispiele sind.

Anstoß einer BillardkugelBearbeiten

 
Abb. 1: Anstoß einer Billardkugel parallel zur Tischplatte

Parallel zur Tischplatte soll eine Billardkugel mit Radius  , Masse   und Massenträgheitsmoment   so angestoßen werden, dass sie nicht über den Tisch rutscht, siehe Abb. 1. Es stellt sich die Frage, in welcher Höhe   über der Platte die Kraft   eingeleitet werden muss, damit für das schlupflose Rollen keine Reibkraft am Tisch notwendig ist.

Die exzentrisch an der Kugel angreifende horizontale Kraft entwickelt ein Moment  , das die Kugel gemäß der Kreiselgleichung

 

in Drehung versetzt. Das Moment ist negativ, weil es entgegen der Zählrichtung des Drehwinkels   wirkt. Außerdem beschleunigt die Kraft die Kugel gemäß dem Gesetz „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“:

 

Die Beschleunigung   ist parallel zum Tisch in Richtung der Kraft. Die Bedingung für schlupfloses Rollen

 

schließt das Gleichungssystem für die drei Unbekannten  ,   und   ab. Damit berechnet sich

 

Bei einer massiven homogenen Kugel ist das Massenträgheitsmoment   und somit

 

wobei   der Durchmesser der Kugel ist.

Ein eine schiefe Ebene hinabrollendes RadBearbeiten

 
Abb. 2: Ein eine schiefe Ebene hinab rollendes Rad.

In einer ebenen Bewegung rolle ein Rad mit Radius r, Masse m und Massenträgheitsmoment Θ eine mit dem Winkel α geneigte Ebene unter Einfluss einer Schwerebeschleunigung g hinab, siehe Abb. 2. Weil sich das Rad dabei auch translatorisch bewegt, geht auch seine Masse in die Beschleunigung ein. Die Beschleunigung wächst jedoch, wenn das Massenträgheitsmoment abnimmt.

Aufgrund des schlupflosen Abrollens entsteht am Aufstandspunkt des Rades eine Reibkraft R, die das Rad in Drehung versetzt, denn es entspricht einem Moment M=-r R. Es ist negativ, weil es entgegen der Zählrichtung des Drehwinkels φ arbeitet. Damit lautet die Kreiselgleichung im ebenen Fall:

 

Die auf das Rad hangabwärts wirkende Komponente F der Gewichtskraft mg hat die Größe F=mgsin(α). Ihr entgegen steht die Reibkraft, so dass nach dem zweiten newtonschen Gesetz gilt:

 

worin   die hangabwärts zählende Beschleunigung des Rades und sin die Sinusfunktion ist. Die Bedingung für schlupfloses Rollen   schließt das Gleichungssystem für die drei Unbekannten R, φ und x ab und es ergibt sich

 

Ein hangabwärts, reibungsfrei rutschender Klotz erfährt die Beschleunigung  , die größer ist als die des Rades, denn beim Rad wird ein Teil der potentiellen Energie in Rotationsenergie umgesetzt, die dann für die Translation fehlt.

Lösungen der Kreiselgleichungen bei räumlichen BewegungenBearbeiten

Für die technische Anwendung gibt es bedeutsame Spezialfälle, bei denen sich die Kreiselgleichungen soweit vereinfachen, dass sie integrabel sind. In diesen Fällen weisen die Trajektorien des Kreisels einen zumindest quasi-periodischen Verlauf auf, können die verschiedenen Bewegungsmodi klassifiziert und die Zeitfunktionen der Variablen sowie ihre geometrische Bedeutung angegeben werden. Insbesondere beim Kowalewskaja-Kreisel und im Goryachew-Chaplygin Fall sind die analytischen Lösungen so kompliziert, dass die Herausarbeitung der vorgenannten typischen Eigenschaften der Bewegung äußerst aufwändig ist. Hier helfen topologische Analyse (Bifurkationsdiagramm), Stabilitätsanalyse, Phasenraum-Diagramme und Computeranimationen dabei, Einblicke in die Vorgänge im Kreisel zu erhalten und deren typischen Eigenschaften heraus zu arbeiten. Die so erzielten Ergebnisse können praktische Anwendungen motivieren[3]. Auch die kinetische Analogie mit den von Kirchhoff für elastische Filamente aufgestellten Gleichungen ist nützlich bei der Analyse möglicher Lösungen.[4]

Die folgende Tabelle enthält eine Auswahl räumlicher Bewegungen von Kreiseln, in denen bis Anfang des 21. Jahrhunderts exakte Lösungen der Kreiselgleichungen gelungen sind[5].

Entdecker Hauptträgheits-
momente
Lage des
Schwerpunkts
Anfangs­be­din­gun­gen (t = 0)
Leonhard Euler
siehe Euler-Kreisel
beliebig s1=s2=s3=0 beliebig
Joseph-Louis Lagrange
siehe Lagrange-Kreisel
A=B s1=s2=0, s3≠0 beliebig
Sofia Kowalewskaja
siehe Kowalewskaja-Kreisel
A=B=2C   beliebig
Wilhelm Hess
siehe Hesssches Pendel
beliebig  
s2=0
 
Gorjatschew und Chaplygin

siehe Goryachew-Chaplygin-Kreisel

A=B=4C   Lz=0
Merzalow A=B=4C   ω3 = 0
Bobylev und Steklow
siehe Bobylew-Steklow-Lösung
2A=C s1=s2=0, s3≠0  
Otto Staude
siehe Staude-Drehung
beliebig beliebig  
 
Giuseppe Grioli
siehe Griolische Präzession
beliebig  
s2=0
Bis auf einen Freiheitsgrad eindeutig festgelegt

In der Tabelle sind A, B, C=θ1,2,3 die Hauptträgheitsmomente und s1,2,3 die (konstanten) Koordinaten des Massenmittelpunkts im Hauptachsensystem.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Grammel (1920), S. 70.
  2. Clifford Truesdell: Die Entwicklung des Drallsatzes. In: Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik (Hrsg.): Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (= Heft 4/5). Band 44, April 1964, S. 149 – 158, doi:10.1002/zamm.19640440402 (wiley.com).
  3. A. V. Borisov, I. S. Mamaev: Euler-Poisson Equations and Integrable Cases. 2001, doi:10.1070/RD2001v006n03ABEH000176, arxiv:nlin/0502030 (englisch, Enthält Lösungen der Kreiselgleichungen, deren ausführliche Beschreibung und weiter führende Literaturangaben.).
  4. Basile Audoly, Yves Pomeau: Elasticity and Geometry: From Hair Curls to the Non-linear Response of Shells. Oxford University Press, 2018, ISBN 978-0-19-882626-2.
  5. Magnus (1971), S. 108.

LiteraturBearbeiten

  • Herbert Goldstein, Charles P. Poole, Jr, John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.
  • K. Magnus: Kreisel. Theorie und Anwendungen. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1971, ISBN 3-540-05198-8, S. 49.
  • R. Grammel: Der Kreisel. Seine Theorie und seine Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1920, DNB 451641280, S. 45 (archive.org – „Schwung“ bedeutet Drehimpuls, „Drehstoß“ Drehmoment und „Drehwucht“ Rotationsenergie).
    oder
    R. Grammel: Der Kreisel. Seine Theorie und seine Anwendungen. 2. überarb. Auflage. 1: Die Theorie des Kreisels. Springer, Berlin / Göttingen / Heidelberg 1950, DNB 451641299, S. 23.
  • V. I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics. 2. Auflage. Springer, New-York / Berlin / Heidelberg / London / Paris / Tokyo 1989, ISBN 3-540-96890-3, S. 150.
  • Eugene Leimanis: The General Problem of the Motion of Coupled Rigid Bodies about a Fixed Point. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 1965, ISBN 3-642-88414-8, S. 4, doi:10.1007/978-3-642-88412-2 (englisch, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 7. Juni 2019]).

WeblinksBearbeiten

  Commons: Kreisel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien