Euklidischer Abstand

Abstandsbegriff der euklidischen Geometrie
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Der euklidische Abstand ist der Abstandsbegriff der euklidischen Geometrie. Der euklidische Abstand zweier Punkte in der Ebene oder im Raum ist die zum Beispiel mit einem Lineal gemessene Länge einer Strecke, die diese zwei Punkte verbindet. Dieser Abstand ist invariant unter Bewegungen (Kongruenzabbildungen).

Der Abstand zweier Punkte und ist definiert als die Länge ihrer (geraden) Verbindungsstrecke (rot)

In kartesischen Koordinaten kann der euklidische Abstand mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden. Mit Hilfe der so gewonnenen Formel kann der Begriff des euklidischen Abstands auf -dimensionale euklidische und unitäre Vektorräume, euklidische Punkträume und Koordinatenräume verallgemeinert werden.

„Euklidisch“ heißt dieser Abstand in Abgrenzung zu allgemeineren Abstandsbegriffen, wie zum Beispiel:

Euklidischer RaumBearbeiten

 
n = 2, entspricht dem Satz des Pythagoras
 
n = 3, Formel ergibt sich über wiederholte Anwendung des Satzes von Pythagoras

In der zweidimensionalen euklidischen Ebene oder im dreidimensionalen euklidischen Raum stimmt der euklidische Abstand   mit dem anschaulichen Abstand überein. Im allgemeineren Fall des  -dimensionalen euklidischen Raumes   ist er für zwei Punkte oder Vektoren durch die euklidische Norm   des Differenzvektors zwischen den beiden Punkten definiert. Sind die Punkte   und   durch die Koordinaten   und   gegeben, so gilt:

 

Ein bekannter Spezialfall der Berechnung eines euklidischen Abstandes für   ist der Satz des Pythagoras.

Der euklidische Abstand ist eine Metrik und erfüllt insbesondere die Dreiecksungleichung. Neben dem euklidischen Abstand gibt es eine Reihe weiterer Abstandsmaße. Da der euklidische Abstand von einer Norm herrührt, nämlich der euklidischen Norm, ist er translationsinvariant.

In der Statistik ist der euklidische Abstand ein Spezialfall des gewichteten euklidischen Abstands und sein Quadrat ein Spezialfall des Mahalanobis-Abstands.

BeispielBearbeiten

Der euklidische Abstand der beiden Punkte   und   ist

 .
 
Euklidischer Abstand zweier Punkte im Raum

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten