Endliche Präsentierbarkeit (Banachraum)

mathematisches Konzept

Die endliche Präsentierbarkeit ist ein mathematisches Konzept, das in der Untersuchung der Banachräume Anwendung findet. Die Grundidee besteht darin, einen Banachraum über die in ihm enthaltenen endlich-dimensionalen Teilräume zu untersuchen.

Definition

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Ein normierter Raum   heißt endlich präsentierbar in einem normierten Raum  , wenn es zu jedem endlich-dimensionalen Untervektorraum   und jedem   einen Teilraum   und einen linearen Isomorphismus   gibt mit  .

Dabei berechnen sich die Operatornormen   und   bezüglich der auf   und   induzierten Teilraum-Normen.

  ist also endlich präsentierbar in  , wenn jeder endlich-dimensionale Teilraum von   bis auf ein   auch in   vorkommt. Mit dem Begriff des Banach-Mazur-Abstandes kann man das auch so formulieren, dass man zu jedem endlich-dimensionalen Teilraum   endlich-dimensionale Teilräume in   mit beliebig kleinem Banach-Mazur-Abstand zu   finden kann.

Unterräume von Banachräumen sind in diesen endlich präsentierbar. Die Eigenschaft der endlichen Präsentierbarkeit ist transitiv, das heißt: Ist   endlich präsentierbar in   und   endlich präsentierbar in  , so ist   endlich präsentierbar in  .

Beispiele

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  • Lp([0,1]) ist endlich präsentierbar im Folgenraum  .
  •   ist nicht endlich präsentierbar in  .
  • Der Funktionenraum   ist endlich präsentierbar in c0 und umgekehrt.

Satz von Dvoretzky

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Nach dem Satz von Banach-Mazur ist jeder separable Banachraum isometrisch isomorph zu einem Unterraum von  . Daher ist jeder Banachraum endlich präsentierbar in  , das heißt   ist maximal bezüglich endlicher Präsentierbarkeit. Der Satz von Dvoretzky (nach Aryeh Dvoretzky) sagt aus, dass Hilberträume minimal bezüglich endlicher Präsentierbarkeit sind:

  • Satz von Dvoretzky: Jeder Hilbertraum ist in jedem unendlich-dimensionalen Banachraum endlich präsentierbar.

Die Eigenschaft, in jedem unendlich-dimensionalen Banachraum endlich präsentierbar zu sein, charakterisiert die Hilberträume. Ist nämlich   in jedem Banachraum endlich präsentierbar, so auch in  , und man zeigt leicht, dass in   die Parallelogrammgleichung gelten muss; daher ist   nach dem Satz von Jordan-von Neumann ebenfalls ein Hilbertraum.

Super-Eigenschaften

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Es sei P eine Eigenschaft, die ein Banachraum haben kann. Man sagt, ein Banachraum   sei (bzw. habe) super-P, falls jeder Banachraum, der in   endlich präsentierbar ist, ebenfalls die Eigenschaft P hat. Wenn ein Banachraum eine Super-Eigenschaft hat, dann muss nach dem Satz von Dvoretzky auch jeder Hilbertraum diese Eigenschaft haben.

Ist   ein gleichmäßig konvexer Raum und   endlich präsentierbar in  , so ist auch   gleichmäßig konvex. Gleichmäßige Konvexität ist also eine Super-Eigenschaft, das heißt ein gleichmäßig konvexer Raum ist bereits super-gleichmäßig konvex.

Super-Reflexivität

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Da gleichmäßig konvexe Räume nach dem Satz von Milman reflexiv sind und da gleichmäßige Konvexität eine Super-Eigenschaft ist, sind gleichmäßig konvexe Räume super-reflexiv. Reflexivität selbst ist keine Super-Eigenschaft, das heißt Reflexivität und Super-Reflexivität sind nicht äquivalent. Super-Reflexivität wird durch den folgenden Satz von Per Enflo charakterisiert:

  • Ein Banachraum ist genau dann super-reflexiv, wenn es eine äquivalente Norm gibt, die ihn zu einem gleichmäßig konvexen Raum macht.

Da gleichmäßig konvexe Räume nach einem Satz von Shizuo Kakutani die Banach-Saks-Eigenschaft haben, folgt daraus:

  • Super-reflexive Räume haben die Banach-Saks-Eigenschaft.

Daher folgt aus der Super-Reflexivität die Super-Banach-Saks-Eigenschaft; man kann sogar zeigen:

  • Super-Reflexivität und die Super-Banach-Saks-Eigenschaft sind äquivalent.

Prinzip der lokalen Reflexivität

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Nach einem Satz von Joram Lindenstrauss und Haskell Rosenthal ist der Bidual eines Banachraums   stets endlich präsentierbar in  . Dieses sogenannte Prinzip der lokalen Reflexivität wird zur folgenden genaueren Aussage verschärft:

  • Sei   ein Banachraum,   und   seien endlich-dimensionale Teilräume und es sei  . Dann gibt es einen injektiven, stetigen, linearen Operator   mit:
  1.  
  2.  
  3.   für alle  

Literatur

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  • Bernard Beauzamy: Introduction to Banach Spaces and their Geometry. 2. Auflage. North-Holland, Amsterdam u. a. 1985, ISBN 0-444-87878-5.
  • Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. Springer, New York u. a. 1984, ISBN 0-387-90859-5.
  • Per Enflo: Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm. In: Israel Mathematical Journal. Band 13, 1972, S. 281–288.
  • Joram Lindenstrauss, Haskell Paul Rosenthal: The Lp-spaces. In: Israel Mathematical Journal. Band 7, 1969, S. 325–349.