Dupinsche Zyklide

Eine Dupinsche Zyklide ist in der Geometrie eine nach dem französischen Mathematiker Charles Dupin benannte Fläche mit besonderen geometrischen Eigenschaften. Die hervorragendste Eigenschaft ist:

Ring-Zyklide mit Krümmungslinien (Kreise)
(KL) Eine Dupinsche Zyklide wird von zwei sich senkrecht schneidenden Scharen von Kreisen überdeckt. Jeder dieser Kreise ist eine Krümmungslinie.

Die einfachsten Beispiele sind die Rotationstori und weitere torusartige Flächen (s. Bild).

Dupinsche Zykliden wurden nicht nur von Dupin, sondern auch von A. Cayley und J.C. Maxwell intensiv untersucht.

Heute finden Dupinsche Zykliden insbesondere im CAD-Bereich Interesse, da Zyklidenteile durch rationale Funktionen beschrieben werden können und zur Modellierung glatter Übergänge zwischen Kanalflächen (Zylinder, Kegel, Tori …) geeignet sind.

Definition einer Dupinschen ZyklideBearbeiten

Dupin untersuchte Flächen, deren Krümmungslinien Kreise sind, und gab 1822 in seinem Buch Applications de Geometrie die folgende Definition einer Klasse von solchen Flächen:

  • Die einhüllende Fläche einer Kugelschar, die 3 vorgegebene Kugeln in stetiger Weise berühren, heißt (Dupinsche) Zyklide.

In der Literatur findet man weitere äquivalente Definitionen und Verallgemeinerungen.[1]

Parameterdarstellung, implizite DarstellungBearbeiten

(KF) Eine Dupinsche Zyklide lässt sich auf zwei Arten als einhüllende Fläche einer einparametrigen Kugelschar beschreiben, d. h. sie ist eine Kanalfläche und lässt sich mit zwei verschiedenen Leitkurven erzeugen. Die Leitkurvenpaare sind Fokalkegelschnitte und bestehen entweder aus einer Ellipse und einer Hyperbel oder zwei Parabeln, wobei die Scheitel der Ellipse die Brennpunkte der Hyperbel und umgekehrt bzw. der Scheitel der einen Parabel der Brennpunkt der anderen und umgekehrt sind. Im ersten Fall nennt man die Zyklide elliptisch im zweiten Fall parabolisch. In beiden Fällen liegen die Kegelschnitte in zueinander senkrechten Ebenen. Die Hyperbel kann in Ausnahmefällen (wenn die Ellipse ein Kreis ist) zu einer Gerade entarten. Die Zyklide ist dann ein Rotationstorus.

Das Leitkurvenpaar ist jeweils die zu zwei Kurven entartete Brennfläche der Zyklide.

Elliptische ZyklidenBearbeiten

Eine elliptische Zyklide lässt sich durch folgende Parameterdarstellung beschreiben (siehe Abschnitt Zyklide als Kanalfläche):

 
Bedeutung der Formparameter  . Hier ist:   und  
  ist der Radius der erzeugenden Kugel in den Nebenscheiteln der Ellipse (s. Zyklide als Kanalfläche)
Die beiden senkrechten Kreise mit den Mittelpunkten   haben die Radien  .
 
 
 
 

Die Zahlen   mit   sind die große bzw. kleine Halbachse einer Ellipse in der x-y-Ebene und   deren lineare Exzentrizität:

 

Die Hyperbel

 

in der x-z-Ebene ist der zur Ellipse gehörige Fokalkegelschnitt, d. h. die Brennpunkte der Ellipse sind die Scheitel der Hyperbel und die Scheitel der Ellipse sind die Brennpunkte der Hyperbel. Die beiden Kegelschnitte bilden die zu zwei Kurven ausgearteten Brennflächen (hier: Brennlinien) der Zyklide.

Die Zahl   ist ein Formparameter der Zyklide. Bei einer Ringzyklide ist   ein mittlerer Radius der die Zyklide als Kanalfäche erzeugenden Kugeln. Bei einem Rotationstorus ist   der Radius des rotierenden Kreises.

Für   bzw.   erhält man gerade die Krümmungslinien (Kreise) der Fläche.

Die jeweilige implizite Darstellung ist:

 

Falls   ist, wird  , d. h. die Ellipse wird zum Kreis und die Hyperbel artet zur Gerade aus. Die zugehörigen Zykliden sind dann Rotationstori.

(ellipt.) Dupinsche Zykliden für Formparameter a, b, c, d
           
           
symm. Hornzyklide Hornzyklide Einhornzyklide Ringzyklide Ringzyklide Spindelzyklide

Intuitiver als die Formparameter   sind die Schnittpunkte der Zyklide mit der x-Achse. Siehe hierzu den Abschnitt Zyklide durch 4 Punkte auf der x-Achse.

Parabolische ZyklidenBearbeiten

Eine parabolische Zyklide lässt sich durch die folgende Parameterdarstellung beschreiben (siehe Abschnitt Zyklide als Kanalfläche):

 
parabolische Zyklide mit Leitparabeln
 
 
 
 

Dabei bestimmt   die Form der beiden Parabeln (Fokalkegelschnitte):

  (im Bild rot) und
  (blau).

(Zur geometrischen Bedeutung von  : siehe Parabel). Der Formparameter   legt den Durchmesser des horizontalen Loches in Vielfachen von   fest. Für   haben beide Löcher denselben Durchmesser. Im Bild ist  .

Eine zugehörige implizite Darstellung ist

 
parabolische Dupinsche Zykliden für Designparameter p=1, k
     
     
Ringzyklide Einhornzyklide Zweihornzyklide

Bemerkung: Die Lücken bei der Darstellung der Kreise entstehen durch die notwendige Beschränkung der Parameter  .

Zyklide als KanalflächeBearbeiten

 
Dupinsche Zyklide als Kanalfläche (Einhüllende einer Kugelschar)

In dem Buch Analytische Geometrie gibt Wilhelm Blaschke die folgenden zwei Konstruktionen[2] einer Zyklide als Kanalfläche an:

Ellipse als LeitkurveBearbeiten

In der x-y-Ebene ist die Ellipse mit der Gleichung

 

mit   als Leitkurve gegeben. Sie hat die Parameterdarstellung

 

Dabei ist   die große und   die kleine Halbachse der Ellipse. Im Folgenden ist   die lineare Exzentrizität der Ellipse, d. h. es ist  . Die Radien der erzeugenden Kugeln sind

 

  ist ein Formparameter. Man kann ihn als einen mittleren Kugelradius ansehen. Im Fall   ist die Ellipse ein Kreis und die Zyklide ein Rotationstorus mit kleinem Radius  .

Im Bild ist  .

 
Eigenschaft der Brennpunkte der Leitellipse. Die Ellipse ist die Äquidistanzkurve des blauen und lila Kreises.

Eigenschaft von MaxwellBearbeiten

Die folgende einfache Beziehung zwischen dem jeweiligen Kugelmittelpunkt (Ellipsenpunkt) und dem zugehörigem Kugelradius geht auf Maxwell[3] zurück:

  • Die Summe aus Kugelradius und Abstand des Kugelmittelpunktes (Ellipsenpunkt) von einem der beiden, aber fest gewählten, Brennpunkte der Leitellipse ist konstant.
Nachweis

Die Brennpunkte der obigen Ellipse   sind  . Wählt man   aus und berechnet den Abstand  , so ergibt sich  . Mit dem obigen Kugelradius ist  .
Wählt man den anderen Brennpunkt aus, ergibt sich  

D.h.: In der x-y-Ebene sind die Einhüllenden der Kugelkreise zwei Kreise mit den Brennpunkten der Leitellipse als Mittelpunkte und den Radien   (siehe Bild).

Zyklide durch 4 Punkte auf der x-AchseBearbeiten

 
Zur Bestimmung der Formparameter a,b,c,d nach Vorgabe von  
 
Oben: Ringzyklide mit  
Mitte: Hornzyklide mit  
Unten: Spindelzyklide mit  

Die Maxwell-Eigenschaft erlaubt es, eine zur x-z-Ebene und x-y-Ebene symmetrische Ring-Zyklide durch die Vorgabe ihrer Schnittpunkte auf der x-Achse festzulegen:

Gegeben: Vier Punkte   auf der x-Achse (s. Bild).

Gesucht: Mittelpunkt  , Halbachsen  , lineare Exzentrizität   und Brennpunkte der Leitellipse sowie der mittlere Radius   der Ringzyklide.

Aus den Maxwell-Eigenschaften ergibt sich zunächst

 

und daraus

   

Die Lage der Brennpunkte (auf der x-Achse) ist

  und damit
 

Der Mittelpunkt der Fokal-Kegelschnitte liegt bei

 

Bei Verwendung der obigen Parameterdarstellung muss man den hier verschobenen Mittelpunkt berücksichtigen!

Bedeutung der Anordnung von  

(H) Vertauscht man im Beispiel  , entsteht eine Hornzyklide.
(S) Vertauscht man  , ergibt sich eine Spindelzyklide.
(E) Setzt man   entsteht eine Einhornzyklide.
(R) Setzt man  , erhält man eine sich im Nullpunkt berührende Ringzyklide.

ParallelflächenBearbeiten

 
Parallelflächen einer Zyklide mit Parameter  

Vergrößert oder verkleinert man den Parameter   so, dass keine neuen Typen (Hornzykliden …) entstehen, so erhält man (analog zu Parallelkurven) parallele Flächen, die wieder Zykliden sind (siehe Bild).

Hyperbel als LeitkurveBearbeiten

In dem Buch wird auch die zweite Erzeugung der Zyklide als Kanalfläche mit den Mittelpunkten auf der zur obigen Ellipse gehörigen Fokalhyperbel beschrieben. Die Gleichung der Hyperbel ist

 
Zyklide mit zwei Berührkugeln, deren Mittelpunkte auf der Fokalhyperbel liegen
 

In diesem Fall berühren die Kugeln die Zyklide von außen in der zweiten Schar von Kreisen. Zu jedem Ast der Hyperbel gehört eine Teilschar von Kugeln. Die Kugeln der einen Schar umschließen die Zyklide (im Bild: lila Kugel). Die andere Schar wird von der Zyklide von außen berührt (im Bild: blau).

Die Hyperbel hat die Parameterdarstellung

 

Die Radien der zugehörigen Kugeln sind

 

Im Torusfall ( ) artet die Hyperbel in die Torusachse aus.

 
Maxwell-Eigenschaft für Hyperbel. Der Hyperbelast   ist auch die Äquidistanzkurve der beiden grauen Kreise.

Maxwell-Eigenschaft für HyperbelBearbeiten

Die Brennpunkte der Hyperbel   sind  . Für den Abstand des Hyperbelpunktes   vom Brennpunkt   ergibt sich   und mit dem Kugelradius   schließlich  . Analog ergibt sich   . Für einen Punkt auf dem zweiten Ast erhält man:  

D.h.: In der x-z-Ebene hüllen die Kreise (Schnitte der Kugeln mit der x-z-Ebene) mit den Mittelpunkten   und Radien   die beiden Kreise (im Bild grau) mit Mittelpunkte   und Radien   ein.

 
Punktkonstruktion

Herleitung der ParameterdarstellungBearbeiten

Elliptische ZyklideBearbeiten

Die Ellipse und die Hyperbel sind die zu einem Kurvenpaar ausgearteten Brennflächen (hier: Brennlinien) der durch sie und dem Parameter   eindeutig bestimmten Zyklide. Ist   ein beliebiges Punktepaar der Ellipse und Hyperbel, so gilt (wegen der Eigenschaft von Brennflächen):

1) die Gerade   ist eine Normale der Zyklide und
2) der zugehörige Zyklidenpunkt teilt die Strecke   im Verhältnis der zugehörigen Kugelradien  .

Mit Parameterdarstellung und Kugelradius der

Ellipse  
Hyperbel  

(Zur etwas ungewohnten, aber hier geeigneteren, Parameterdarstellung der Hyperbel siehe: Hyperbel.)

erhält man den zugehörigen Zyklidenpunkt (siehe Bild):

 

Es ergibt sich die oben angegebene Parameterdarstellung einer elliptischen Zyklide.

Parametrisiert man die Zyklide so, wie es in dem Artikel für Kanalflächen beschrieben wird, so besteht i.a. nur eine Schar von Parameterkurven aus Kreisen.

Zur Beschreibung der Kugelradien

Um Fallunterscheidungen zu vermeiden, wird hier nur der Fall   betrachtet. Die anderen Fälle verlaufen analog:

Da   die Krümmungszentren sind, muss gelten (s. Bild)[4]

 

Es ist also   und   mit einer beliebigen Zahl  .

Die Parameterlinien sind Kreise

Falls   ist, gibt es einen senkrechten Kreiskegel, der die Ellipse enthält und den Punkt   als Spitze besitzt (s. den Artikel Fokalkegelschnitt). Die Kugel mit   als Mittelpunkt und   als Radius schneidet aus dem Kegel einen Kreis, die Parameterlinie  , aus.
Analog ergibt sich, dass   ein Kreis ist.

Die Kreise sind Krümmungslinien

Hierzu beweist man:

(KO) Sind E,H zwei Punkte der Ellipse bzw. Hyperbel, so schneiden sich die zugehörigen Kreiskegel mit Spitze E bzw. H durch die Hyperbel bzw. Ellipse (s. vorigen Absatz) entlang der gemeinsamen Gerade EH senkrecht.

Da die Gerade EH in dem auf ihr liegenden Zyklidenpunkt P die Normale ist, schneiden sich in P die beiden Kegel und die Zyklide paarweise orthogonal. Nach dem Satz von Dupin über dreifache Orthogonalsysteme folgt: Die Schnittkurven (Kreise) mit der Zyklide sind Krümmungslinien.

Die Aussage (KO) beweist man, indem man zeigt, dass die Normalebenen der Kegel durch die Gerade EH aufeinander senkrecht stehen. Diese Ebenen gehen durch EH und die jeweiligen Kegelachsen (Tangente der Ellipse in E bzw. Hyperbel in H, siehe Fokalkegelschnitt).

Ein anderer Beweis: Jeder Kreis ist Berührkreis der Zyklide mit einer Kugel. D.h.: alle Normalen entlang eines Kreises gehen durch den Kugelmittelpunkt. Die Normalen bilden also eine Torse (hier Kegel), was zur Folge hat[5]: Der Kreis ist eine Krümmungslinie.

Parabolische ZyklideBearbeiten

 
Erzeugung einer parabolischen Zyklide als Kanalfläche

Die Herleitung der Parameterdarstellung für den parabolischen Fall verläuft analog:

Mit den Parameterdarstellungen und Kugelradien der Leitparabeln (Fokalkegelschnitte):

 
 

ergibt sich mit

 

die obige Parameterdarstellung.

Dupinsche Zykliden und InversionenBearbeiten

Für Untersuchungen der Flächen vorteilhaft ist:

(I) Jede Dupinsche Zyklide ist das Bild eines senkrechten Kreiszylinders oder eines senkrechten Kreiskegels oder eines Rotationstorus unter einer Inversion (Spiegelung an einer Kugel).

Die Spiegelung (Inversion) an der Kugel mit der Gleichung   lässt sich analog zur Kreisspiegelung beschreiben durch:

 

Die für Zykliden wichtigsten Eigenschaften solch einer Kugelspiegelung sind:

  1. Kugeln und Kreise, die den Ursprung nicht enthalten, werden auf ebensolche abgebildet.
  2. Ebenen/Geraden durch den Ursprung werden jeweils auf sich abgebildet.
  3. Ebenen/Geraden, die den Ursprung nicht enthalten, werden auf Kugeln/Kreise durch den Ursprung abgebildet.
  4. Eine Inversion ist involutorisch (identisch mit ihrer Umkehrabbildung).
  5. Eine Inversion ist winkeltreu.

Man kann beliebige Flächen mit einer Inversion abbilden. Die obige Abbildungsvorschrift liefert dann sofort eine Parameterdarstellung/implizite Darstellung der Bildfläche, falls die gegebene Fläche parametrisiert/implizit gegeben ist. Im parametrisierten Fall ergibt sich:

 
 
Ringzyklide durch Inversion eines Zylinders an einer Kugel (magenta)
 
parabolische Ringzyklide durch Inversion eines Zylinders der den Nullpunkt enthält
 
Zweihornzyklide durch Inversion eines Kegels
 
Ringzyklide durch Inversion eines Torus

Aber: Nur senkrechte Kreiszylinder, senkrechte Kreiskegel und Rotationstori werden durch eine Inversion auf Dupinsche Zykliden abgebildet und umgekehrt.

Beispiel Zylinder
  1. Da Geraden, die den Nullpunkt nicht enthalten, bei der Spiegelung an der Kugel (im Bild: magenta) auf Kreise durch den Nullpunkt abgebildet werden, ist das Bild des Zylinders eine Ringzyklide, bei der sich die eine Schar von Kreisen im Nullpunkt berühren. Als Bilder von Strecken erscheinen im Bild nur Kreisbögen. Die Kugeln, die den Zylinder von innen berühren, gehen in die erste Kugelschar über, die die Zyklide als Kanalfläche von außen erzeugt. Die Tangentialebenen des Zylinders gehen in die zweite die Zyklide von innen umhüllende Kugelschar über. Letztere Kugeln gehen alle durch den Ursprung.
  2. Im zweiten Beispiel geht eine Mantellinie des Zylinders durch den Nullpunkt. Geraden durch den Nullpunkt werden auf sich abgebildet. Deswegen ist das Bild eine unbeschränkte Fläche, also eine parabolische Zyklide.
Beispiel Kegel

Die Mantellinien des Kegels werden auf Kreise abgebildet, die sich im Nullpunkt und im Bild der Kegelspitze schneiden. Das Bild des Kegels ist eine Zweihornzyklide. Im Bild erscheinen die Bilder der Mantelstrecken nur als Kreisbögen.

 
Ringzyklide mit Villarceau-Kreise
Beispiel Torus

Die beiden Kreisscharen des Torus gehen in die entsprechenden Kreisscharen der Ringzyklide über. Ein sich durchdringender Rotationstorus wird auf eine Spindelzyklide abgebildet.
Villarceau-Kreise bilden zwei weitere Scharen von Kreisen auf einem Torus. Da Kreise bei einer Inversion in der Regel wieder auf Kreise abgebildet werden, liegen auch auf einem invertierten Torus zwei weitere Kreisscharen (siehe Bild).

Verwendet man, wie bei den Villarceau-Kreisen, zur Visualisierung die mitinvertierten Toruskreise, so entsteht keine gute Punkteverteilung des Kreisnetzes. Dies lässt sich verbessern, indem man die Formparameter   berechnet und die am Anfang eingeführte Parameterdarstellung verwendet:

 
Zyklide (blau) durch Inversion eines Torus (schwarz) an der roten Einheits-Kugel

Gegeben: Torus, der aus der Standardposition in x-Richtung verschoben ist. Die Schnitte mit der x-Achse haben die x-Werte   (s. Bild). Alle ungleich Null. Andernfalls entsteht keine Ringzyklide.
Gesucht: Halbachsen   und lineare Exzentrizität   der Leitellipse sowie der mittlere Radius   (s. Abschnitt Parameterdarstellung) der bei der Inversion an der Einheitskugel aus dem Torus entstandenen Ringzyklide (im Bild blau).

Aus den Maxwell-Eigenschaften (s. voriger Abschnitt) ergibt sich

    und
 

Der Mittelpunkt der Fokal-Kegelschnitte liegt bei

 

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • A. Cayley: On the cyclide. In: Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. 12, 1873, S. 148–163.
  • C. Dupin: Applications de Geometrie et de Mechanique. Bachelier, Paris 1822.
  • G. Fischer: Mathematische Modelle: Aus den Sammlungen von Universitäten und Museen. Akademie-Verlag, 1986, ISBN 978-3-322-85046-1, S. 30.
  • K. Fladt: Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven. Vieweg-Teubner-Verlag, ISBN 978-3-528-08278-9, S. 201.
  • G. Glaeser: Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst und Technik. Springer-Verlag, 2014, ISBN 978-3-642-41851-8, S. 229.
  • D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie. Springer-Verlag, 2011, ISBN 978-3-642-19947-9, S. 192.
  • F. Klein, W. Blaschke: Vorlesungen Über Höhere Geometrie. Springer-Verlag, 1926, ISBN 978-3-642-98494-5, S. 56.
  • J. C. Maxwell: On the cyclide. In: Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. 9, 1868, S. 111–126.
  • M. J. Pratt: Cyclide Blending in Solid Modelling. In: Wolfgang Strasser, Hans-Peter Seidel (Hrsg.): Theory and Practice in Geometric Modelling. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-51472-4, S. 235.
  • Y. L. Srinivas, V. Kumar, D. Dutta: Surface design using cyclide patches. In: Computer-Aided Design. Volume 28, Issue 4, 1996, S. 263–276.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. V. Chandru, D. Dutta, C.M. Hoffmann: On the geometry of Dupin cyclides. In: The Visual Computer. 1989 (5), S. 277–290.
  2. W. Blaschke: Analytische Geometrie, Springer-Verlag, 2013, ISBN 303486812X, S. 115
  3. erwähnt in W. Boehm: On Cyclides in Geometric Modeling.Computer Aided Geometric Design 7, 1990, S. 243–255.
  4. s. Buch von W. Blaschke
  5. Blaschke, S. 61