Eine U-Statistik ist ein erwartungstreuer Schätzer im Bereich der asymptotischen Statistik. Sie wurde 1948 von Wassily Hoeffding erstmals definiert, wobei das "U" für die Unverzerrtheit des Schätzers steht.[1]

Definition

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Sei   ein Wahrscheinlichkeitsraum und   eine Folge (stochastich) unabhängiger und identisch verteilter  -dimensionaler Zufallsvektoren mit Verteilungsfunktion  . Weiter seien   mit   und   eine messbare und symmetrische Funktion, wofür das zweite Moment existiert. Dann heißt U-Statistik der Ordnung k mit Kern   die Zufallsvariable

 

Bemerkungen

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Es handelt sich bei der U-Statistik um einen Sonderfall der V-Statistik, die 1947 durch Richard von Mises eingeführt wurden. Diese beschreiben die asymptotische Verteilung der sogenannten von-Mises-Funktionalen und werden zur Verwirrung der Allgemeinheit ebenfalls so genannt.[2]

Verallgemeinerung

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Eine Verallgemeinerung der U-Statistik wurde 1951 durch Lehmann formuliert.

Beispiele

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Für die ersten niedrigen Werte für   folgen bei bestimmter Wahl von   der zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg-Lévy, die Stichprobenvarianz, Ginis mittlere absolute Differenz, die Stichprobenkovarianz, Wilcoxons Ein-Stichproben-Statistik oder auch Kendalls Tau.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Wassily Hoeffding: A Class of Statistics with Asymptotically Normal Distribution. In: The Annals of Mathematical Statistics. Band 19, Nr. 3, September 1948, ISSN 0003-4851, S. 293–325, doi:10.1214/aoms/1177730196 (projecteuclid.org [abgerufen am 5. Mai 2024]).
  2. Manfred Denker: Schwache Invarianzprinzipien für reguläre Funktionale von Verteilungsfunktionen. In: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (DMV). Band 84, Nr. 4. B.G. Teubner, 1982, ISSN 0012-0456, zbMath 0507.62013, S. 163–195 (DMV oder Uni Bielefeld [abgerufen am 5. Mai 2024]).