Apollonios-Gleichung

Die Apollonios-Gleichung ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher sowohl dem mathematischen Teilgebiet der Geometrie als auch dem der Funktionalanalysis zugehört. Sie wird dem antiken griechischen Mathematiker Apollonios von Perge zugerechnet und behandelt eine grundlegende metrische Beziehung zwischen Seiten und Seitenhalbierenden von Dreiecken. Die Gleichung ist eng verwandt mit der pythagoreischen Gleichung. In der Elementargeometrie spricht man im Zusammenhang mit dieser Gleichung auch vom Satz von der Seitenhalbierenden oder vom Satz von Apollonios. Hier ergibt sich aus der Apollonios-Gleichung in direkter Folgerung ein bekannter Satz von Leonhard Euler.

Formulierung

Die Apollonios-Gleichung lässt sich formulieren wie folgt:

Für drei Punkte $x,y,z$ eines Innenproduktraums $V$, welcher mit der aus dem inneren Produkt dieses Raums herrührenden Norm ${\|\cdot \|}$ versehen ist, gilt stets:

(AG-1)     ${\tfrac {1}{2}}\|x-y\|^{2}+2\,\|z-{\tfrac {1}{2}}(x+y)\|^{2}=\|z-x\|^{2}+\|z-y\|^{2}$.

Erläuterungen, Anmerkungen und Folgerungen

• Die Apollonios-Gleichung ist eine direkte Folgerung aus der Parallelogrammgleichung, welche sich ihrerseits unmittelbar – nämlich für $z=0$ – aus der Apollonios-Gleichung ergibt.
• Ist hierbei $V$ die euklidische Ebene, versehen mit der euklidischen Norm, und liegt ein Dreieck $ABC$ vor, für welches – wie üblich – die Seitenlängen mit $a,b,c$ und die Länge der zum Punkte $C$ gehörigen Seitenhalbierenden mit $s_{c}$ benannt werden, so schreibt sich (AG-1) in der Form

(AG-2a)     ${\tfrac {1}{2}}c^{2}+2{s_{c}}^{2}=a^{2}+b^{2}$   ,

womit sich die bekannte (gleichwertige!) Formel

(AG-2b)     $s_{c}={\frac {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}{2}}$

ergibt.

• Bildet man die entsprechenden Formeln für die beiden anderen Dreiecksseiten und deren Seitenhalbierenden, so gewinnt man – nach Äquivalenzumformungen – die drei Gleichungen

(AG-3a)     ${s_{a}}^{2}-{s_{b}}^{2}={\frac {3}{4}}(b^{2}-a^{2})$

(AG-3b)     ${s_{b}}^{2}-{s_{c}}^{2}={\frac {3}{4}}(c^{2}-b^{2})$

(AG-3c)     ${s_{c}}^{2}-{s_{a}}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}-c^{2})$

• Es folgt daraus unmittelbar:

(AG-F1)     ${s_{a}}^{2}+{s_{b}}^{2}+{s_{c}}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

(AG-F2)     $s_{a}\geq s_{b}\geq s_{c}{\text{ wenn }}a\leq b\leq c$

(AG-F3)     Ist $ABC$ speziell ein rechtwinkliges Dreieck der euklidischen Ebene und $c$ die Länge der Hypotenuse, so gilt nach dem Satz des Thales $s_{c}={\tfrac {1}{2}}c$ und damit die pythagoreische Gleichung.

Siehe auch

• Satz von Apollonios (Dreieck)
• Satz des Pythagoras
• Satz von Euler (Vierecksgeometrie)

Literatur

• Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht (= Studium). 4., überarbeitete Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-06730-4, doi:10.1007/978-3-658-06731-1. 
• Claudi Alsina – Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik. 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer Spektrum, Berlin – Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-45461-9. 
• I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 12. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 1972. 
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0.