Absolute Galoisgruppe

Oberbegriff aller Galoisgruppen
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Die absolute Galoisgruppe eines Körpers ist die Galoisgruppe, welche zum separablen Abschluss gehört. Sie ist eindeutig bis auf Isomorphie. Im Allgemeinen ist die Körpererweiterung von unendlichem Grad, weshalb der Hauptsatz der Galoistheorie als solcher nicht mehr anwendbar ist. Das Studium von verspricht Information über sämtliche endlichen galoisschen Körpererweiterungen , insbesondere Hinweise zur Lösung des Umkehrproblems der Galoistheorie.

Beispiele

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  • Für einen perfekten Körper   ist der separable Abschluss gleich dem algebraischen Abschluss, also  .
    • Wegen   ist  , wobei   die komplexe Konjugation bezeichnet.
    • Für   wurde bisher keine explizite Charakterisierung von   gefunden. Man erhofft sich Aussagen aus dem Satz von Belyi, nach dem   treu auf bestimmten Graphen, den sogenannten dessins d' enfants, operiert. Die Absolute Galoisgruppe über den rationalen Zahlen ist wichtig in der Zahlentheorie und Gegenstand der inzwischen bewiesenen Serre-Vermutung.
    • Wenn   der Körper mit   Elementen ist, gilt  , wobei auf der rechten Seite der projektive Limes von  , die Gruppe der proendlichen Zahlen, steht.

Literatur

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  • Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag.