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Das Wigner-Eckart-Theorem (nach Eugene Paul Wigner und Carl Henry Eckart) ist ein Hilfsmittel für die Berechnung der Matrixelemente eines Tensoroperators, wenn dessen Symmetrieeigenschaften bekannt sind.

Für die definierenden Transformationseigenschaften eines Tensoroperators gilt:

wobei

  • die unitäre Gruppentransformationsmatrix und
  • eine irreduzible Darstellung dieser Gruppe in der Basis ist.

Theorem: Das Matrixelement eines sphärischen Tensoroperators, ausgedrückt in den Eigenzuständen des Drehimpulsoperators, erfüllt folgende Gleichung:

Hierbei ist

Für Rotationssymmetrie sind die Clebsch-Gordan-Koeffizienten zur Addition von zwei Drehimpulsen und und den jeweiligen z-Komponenten bzw. zum Drehimpuls mit z-Komponente .

Der von m und m‘ sowie q unabhängige Faktor wird als reduziertes Matrixelement bezeichnet, gekennzeichnet durch die 2 Striche beiderseits von . Darin besteht auch der Vorzug, denn dieses von m und m‘ unabhängige Matrixelement wird nur ein Mal berechnet, ist dann für alle anderen Matrixelemente gleich und ermöglicht somit eine einfache Berechnung beliebiger Matrixelemente.

Beweis des Theorems (Drehgruppe)Bearbeiten

Das Wigner-Eckart-Theorem hängt mit dem Lemma von Schur zusammen. Wenn man dies ausnutzt, sind längere Rechnungen für den Beweis nicht erforderlich.

Um die Clebsch-Gordan-Koeffizienten ins Spiel zu bringen, betrachtet man den folgenden, nur für diesen Zweck konstruierten Operator[1]:

 

Er transformiert Zustände mit zwei Drehimpulsen (  und  ) in Zustände mit einem einzelnen Drehimpuls, auf welche Tensoroperatoren wirken. Im Zielraum sind Drehungen durch einen unitären Operator   dargestellt, im Urbildraum durch einen unitären Operator  . Die wesentliche Eigenschaft von   ist das Vertauschen mit Drehungen bzw. die Invarianz unter Drehungen:

 

Dies beruht auf dem gleichartigen Verhalten von Tensoroperatoren und Drehimpulszuständen unter Drehungen. Konkret sieht man die Invarianz am einfachsten, indem man den Ausdruck

 

einmal durch Summation über   auswertet, was   ergibt, und einmal durch Summation über  , was   ergibt. Dabei wird benutzt, dass auch die Drehmatrizen unitär sind.

Wegen der Drehinvarianz von   werden Teilräume, die unter   irreduzibel sind, in Teilräume transformiert, die unter   irreduzibel sind. Bei der Drehgruppe sind diese Teilräume durch eine Drehimpulsquantenzahl   charakterisiert. Nach dem Schurschen Lemma gilt nun:

  • Die Teile von  , die zwischen verschiedenen   (inäquivalenten irreduziblen Darstellungen) vermitteln, sind null.
  • Die Teile von  , die zwischen gleichen   (äquivalenten irreduziblen Darstellungen mit gleichen Darstellungsmatrizen) vermitteln, sind Vielfache der Eins-Abbildung.

Dass die Darstellungsmatrizen für gleiche Drehimpulse tatsächlich immer gleich sind, beruht auf der Verwendung der Standard-Basisvektoren  . Der hier gegebene Beweis gilt deswegen nur für die Drehgruppe.

Wenn das jeweilige Vielfache mit einem Faktor   bezeichnet wird, der von den verknüpften Teilräumen abhängig ist, hat   nach dem Schurschen Lemma somit folgende Form:

 

Die Summe über   stellt die Eins-Abbildung zwischen zwei irreduziblen Teilräumen dar. Im Bra-Vektor fehlt der Entartungsindex, weil es bei Drehimpulskopplung (im Urbildraum von  ) keine Entartung gibt. Die Indizes   bringen zum Ausdruck, dass die gesamte Konstruktion des Operators   von ihnen abhängt.

Um den Beweis abzuschließen, bildet man nun das Matrixelement   mit den beiden Ausdrücken für  , nutzt die Orthonormalität der Basisvektoren aus und identifiziert das jeweilige   mit  .

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Albert Messiah: Quantenmechanik. Band 2. De Gruyter, 1985, Abschnitt 13.6.3

LiteraturBearbeiten

  • C. Eckart: The Application of Group Theory to the Quantum Dynamics of Monatomic Systems. In: Rev. Mod. Phys. 2, 1930, S. 305–380.
  • J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley, 1994, S. 239–240.
  • E. P. Wigner: Einige Folgerungen aus der Schrödingerschen Theorie für die Termstrukturen. In: Z. Physik 43, 1927, S. 624–652.