Clebsch-Gordan-Koeffizient

Notation zur Kopplung von Drehimpulsen in der Quantenmechanik

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten finden ihre Verwendung in der Kopplung quantenmechanischer Drehimpulse. Es handelt sich dabei um Entwicklungskoeffizienten, mit denen man aus der Basis der Einzeldrehimpulse in die Basis des Gesamtdrehimpulses übergeht. Sie werden zur Berechnung der Spin-Bahn-Kopplung sowie im Isospin-Formalismus verwendet.

Sie wurden nach Alfred Clebsch (1833–1872) und Paul Gordan (1837–1912) benannt. Statt Clebsch-Gordan-Koeffizienten kann man auch nach Eugene Wigner die damit verwandten 3j-Symbole verwenden.

DrehimpulskopplungBearbeiten

Man geht von zwei Drehimpulsen   und   aus, die jeweils die Quantenzahlen   und   (z-Komponente), bzw.   und   besitzen. Dabei nehmen   und   folgende Werte an:   und  , und die Drehimpulse vertauschen untereinander:   (s. Quantenmechanischer Kommutator). Das bedeutet, dass man die einzelnen Drehimpulse unabhängig voneinander scharf messen kann. Jeder dieser Drehimpulse hat seinen eigenen Eigenraum, der durch die Eigenvektoren   bzw.   aufgespannt wird. In der Basis dieser Eigenvektoren   hat das Quadrat von   und eine Komponente dieses Operators eine diagonale Gestalt. Das Gleiche gilt in analoger Weise auch für  .

Die einzelnen Drehimpulse   und   koppeln nun zu einem Gesamtdrehimpuls  . D.h. die einzelnen Komponenten addieren sich vektoriell. Die Eigenzustände des Gesamtdrehimpulses besitzen die Quantenzahlen   und  . Sie können die folgenden Werte annehmen:

  und  .

Da der Gesamtdrehimpuls   aus beiden Drehimpulsen   und   besteht, können die Zustände des Gesamtdrehimpulses im Produktraum der einzelnen Eigenzustände dargestellt werden:

 

wobei   das Tensorprodukt bezeichnet.

Allerdings sind diese Zustände im Allgemeinen keine Eigenvektoren des Gesamtdrehimpulses  , so dass er in dieser Basis keine Diagonalgestalt besitzt.

Eigenbasis des GesamtdrehimpulsoperatorsBearbeiten

Die Eigenvektoren von   werden durch die Quantenzahlen  ,  ,   und   eindeutig festgelegt. Bezüglich der neuen Basis aus Eigenvektoren hat der Gesamtdrehimpuls   wieder eine einfache Diagonalgestalt. Es gilt:

 
 

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten geben nun den Übergang der Produktbasis   in die Eigenbasis   an (unitäre Transformation):

 

Dabei sind   die Clebsch-Gordan-Koeffizienten.

Eigenschaften der Clebsch-Gordan-KoeffizientenBearbeiten

  • Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten sind gleich Null, wenn eine der beiden Bedingungen   oder   nicht erfüllt ist:
   („Auswahlregeln“).
  • Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten sind konventionsgemäß reell:
 
  • Folgender Clebsch-Gordan-Koeffizient zu   ist konventionsgemäß positiv:
 
  • Der Clebsch-Gordan-Koeffizient zu   ist betragsmäßig gleich dem Clebsch-Gordan-Koeffizient zu   gemäß
 
  • Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten erfüllen die Orthogonalitätsrelation
 
  • Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten erfüllen die Orthogonalitätsrelation
 

Ermittlung der Clebsch-Gordan-KoeffizientenBearbeiten

Der Eigenzustand mit   und   lässt sich sofort in der Produktbasis angeben (nur ein Clebsch-Gordan-Koeffizient gleich 1, alle anderen Null):

 

Durch Anwenden des Absteigeoperators   erhält man die Zustände   bis  , also zu   alle Zustände mit  .

Den Zustand   erhält man aus der Forderung nach Orthogonalität zu   und der Konvention, dass der Clebsch-Gordan-Koeffizient für   positiv ist.

Mit dem Absteigeoperator können zu   wieder alle Zustände mit   erzeugt werden. Dieses Verfahren wird nun iterativ wiederholt bis  .

SU(N)-Clebsch-Gordan-KoeffizientenBearbeiten

Die Kommutatorrelationen der Drehimpulsoperatoren zeigen, dass jeder so definierte Drehimpuls eine Algebra bildet, die im mathematischen Sinne isomorph zu der der Lie-Algebra der speziellen unitären Gruppe SU(2) ist.

In der Quantenmechanik lassen sich jedoch nicht nur Zustände koppeln, die Drehimpulsquantenzahlen bzw. su(2)-Quantenzahlen tragen, sondern auch Zustände mit su(N)-Quantenzahlen. Dies passiert z. B. in der Quantenchromodynamik. Um die dabei auftretenden Clebsch-Gordan-Koeffizienten zu berechnen, sind ebenfalls Algorithmen bekannt[1].

Verallgemeinerung: Ausreduzierung einer ProduktdarstellungBearbeiten

Man kann die Theorie der Clebsch-Gordan-Koeffizienten als Spezialfall aus der Darstellungstheorie der Gruppen auffassen.[2] Und zwar gilt, dass die von zwei (oder mehr) Produkten der Funktionen   aufgespannte „Produktdarstellung“   i. a. reduzibel ist. Sie kann daher nach den irreduziblen Darstellungen   „ausreduziert“ werden, wobei die ganzzahligen „Vielfachheiten“, mit denen diese im allgemeinen Fall vorkommen können, bei der Drehgruppe nur den Wert 1 annehmen.

Im vorliegenden Fall sind jedenfalls die genannten Produkte von der Form   und die zugehörige irreduzible Darstellung wird durch Funktionen der Form   aufgespannt.

Also abstrakt, mit den irreduziblen Darstellungen der Drehgruppe

  wobei z. B.   der Größe l entspricht und   analog zu s ist.

Die bei dieser Ausreduzierung auftretenden komplexwertigen Entwicklungskoeffizienten sind die Clebsch-Gordan-Koeffizienten.

Ein einfaches BeispielBearbeiten

Neben den oben behandelten Atomfunktionen ist das folgende Beispiel instruktiv, bei dem es um das einfachste Zwei-Spin-Problem geht: Es werden also zwei Teilchen mit dem Spin   betrachtet. Das ergibt die vier Funktionen   wobei sich der erste Faktor auf das eine, der zweite auf das andere Teilchen bezieht. Die angegebenen Zustände werden im Folgenden durch Pfeilsymbole veranschaulicht.

Ausreduktion dieses Produkts ergibt ebenfalls insgesamt vier „irreduzible“ Zustände. Diese sind ein sog. Singulett-Zustand mit  ,

 

sowie drei sog. Triplett-Zustände mit  , nämlich

 
  und
 

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten entsprechen in diesem Fall den Werten   bzw.  , die bei dieser Darstellung auftreten.

Bei Abwesenheit magnetischer Felder haben die drei Triplettzustände ein und dieselbe Energie.

AnwendungenBearbeiten

Welcher der beiden Zustände, Singulett oder Triplett, energetisch dominiert, hängt von Einzelheiten der Wechselwirkung ab: Wenn der dominierende Mechanismus die Anziehung der Elektronen durch den Kern ist, z. B. bei homöopolarer Bindung, dominiert der Singulett-Zustand und das resultierende Molekül bzw. der Festkörper sind unmagnetisch bzw. diamagnetisch. Falls dagegen die gegenseitige Coulomb'abstoßung der Elektronen dominiert, erhält man paramagnetische Moleküle bzw. ferromagnetische Festkörper.

Die im ersten Teil des Artikels implizit dominierende quantenmechanisch vertiefte Drehimpulsphysik („Drehimpulsgymnastik“) erhält man mit der Standardinterpretation, dass man erstens nicht zwei, sondern nur ein einziges Teilchen betrachtet und   und   setzt.[3] Dies ergibt vielfältige Anwendungen in Kern- und Teilchenphysik.

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. A. Alex, M. Kalus, A. Huckleberry, and J. von Delft: A numerical algorithm for the explicit calculation of SU(N) and SL(N,C) Clebsch-Gordan coefficients. In: J. Math. Phys. 82, Februar 2011, S. 023507. doi:10.1063/1.3521562. Abgerufen am 13. April 2011.
  2. Siehe alle Standardlehrbücher über Darstellungstheorie von Gruppen; speziell solche mit Hauptanwendungen in der Physik.
  3. A. Lindner: Grundkurs theoretische Physik, Wiesbaden, Vieweg & Teubner, 3. Auflage (2012), ISBN 978-3-8348-1895-9