Von-Neumann-Dimension

Die Von-Neumann-Dimension ist ein Begriff aus der Mathematik, der insbesondere bei der Berechnung von L²-Betti-Zahlen Verwendung findet.

Definition

Sei $\Gamma$ eine abzählbare Gruppe und $V$ ein Hilbert-$\Gamma$-Modul. Dann gibt es eine isometrische $\Gamma$-äquivariante Einbettung $i\colon V\to (l^{2}\Gamma )^{n}$ und eine $\Gamma$-äquivariante orthogonale Projektion $p\colon (l^{2}\Gamma )^{n}\to (l^{2}\Gamma )^{n}$ mit Bild $i(V)$. Die Von-Neumann-Dimension von $V$ ist definiert als

$\dim _{N\Gamma }V:=tr_{\Gamma }(p)$,

wobei $tr_{\Gamma }$ die Von-Neumann-Spur bezeichnet. Diese Definition hängt nicht von der gewählten Einbettung $i$ ab.

Eigenschaften

• $\dim _{N\Gamma }(l^{2}\Gamma )^{n}=n$.
• $\dim _{N\Gamma }V=0\Longleftrightarrow V=0$.
• Wenn $f\colon V\to W$ ein injektiver $\Gamma$-äquivarianter Homomorphismus mit dichtem Bild ist, dann ist $\dim _{N\Gamma }V=\dim _{N\Gamma }W$.
• Für eine schwach exakte Sequenz $0\to U\to V\to W\to 0$ von Hilbert-$\Gamma$-Moduln ist $\dim _{N\Gamma }V=\dim _{N\Gamma }U+\dim _{N\Gamma }W$.
• Die Von-Neumann-Dimension des vervollständigten Tensorprodukts zweier Hilbert-Moduln ist das Produkt der Von-Neumann-Dimensionen.
• Wenn $\Lambda \subset \Gamma$ eine Untergruppe von endlichem Index ist, dann ist $\dim _{N\Lambda }Res_{\Lambda }^{\Gamma }V=\left[\Gamma \colon \Lambda \right]\dim _{N\Gamma }V$.

Beispiele

• Für eine endliche Gruppe $\Gamma$ und einen Hilbert-$\Gamma$-Modul ist $\dim _{N\Gamma }V={\frac {1}{\vert \Gamma \vert }}\dim _{\mathbb {C} }V$.
• Für $\Gamma =\mathbb {Z}$ und eine messbare Menge $A\subset \left[-\pi ,\pi \right]$ ist $V=\left\{f\cdot \chi _{A}\colon f\in L^{2}(\left[-\pi ,\pi \right],\mathbb {C} )\right\}$ ein Hilbert-$\mathbb {Z}$-Modul und $\dim _{N\mathbb {Z} }V={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\chi _{A}d\mu$.

Literatur

• W. Lück: L²-invariants: Theory and applications to geometry and K-theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 44. Berlin: Springer (2002).
• H. Kammeyer: Introduction to l²-invariants. Lecture Notes in Mathematics 2247. Cham: Springer (2019).
• C. Löh: Ergodic theoretic methods in group homology. A minicourse on L²-Betti numbers in group theory. SpringerBriefs in Mathematics. Cham: Springer (2020).