Sullivan-Starrheit

Im mathematischen Teilgebiet der geometrischen Funktionentheorie ist Sullivan-Starrheit (engl. Sullivan rigidity) eine tiefliegende Verallgemeinerung der Mostow-Starrheit in der Theorie der Kleinschen Gruppen. Sie geht auf Dennis Sullivan zurück.

Sullivan-Starrheit spielt eine zentrale Rolle beim Beweis wesentlicher Sätze der 3-dimensionalen Topologie, zum Beispiel beim Beweis der Ending Lamination Conjecture von Brock-Canary-Minsky und bei Thurstons Beweis der Geometrisierung gefaserter 3-Mannigfaltigkeiten.

Starrheitssatz

Seien $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subset \mathrm {Isom} (H^{n})$ diskrete Gruppen von Isometrien des hyperbolischen Raumes $H^{n},n\geq 3$, zu denen es einen Isomorphismus $\rho \colon \Gamma _{1}\to \Gamma _{2}$ gibt. Die Wirkung von $\Gamma _{1}$ auf ihrer Limesmenge $\Lambda (\Gamma _{1})$ sei rekurrent.

Wenn dann $f\colon \partial _{\infty }H^{n}\to \partial _{\infty }H^{n}$ ein quasikonformer Homöomorphismus des Randes im Unendlichen des hyperbolischen Raumes ist, so dass

$f(\gamma (x))=\rho (\gamma )(f(x))\ \forall \gamma \in \Gamma _{1},x\in H^{n}$

gilt und die Einschränkung von $f$ auf den Diskontinuitätsbereich $\Omega (\Gamma _{1})$ eine konforme Abbildung ist, dann muss $f$ eine Möbiustransformation sein.

Anmerkungen

• Die Voraussetzung über eine rekurrente Wirkung auf der Limesmenge ist (nach einem Satz von Ahlfors) für alle endlich erzeugten Gruppen automatisch erfüllt.
• Aus dem Starrheitssatz folgt für endlich erzeugte Kleinsche Gruppen $\Gamma \subset \mathrm {Isom} ^{+}(H^{3})$, dass jedes $\Gamma$-invariante Beltrami-Differential $\mu$ mit $\mathrm {supp} (\mu )\subset \Lambda (\Gamma )$ fast überall Null sein muss.
• Sullivan-Starrheit hat zahlreiche Anwendungen in der komplexen Dynamik und in der Geometrie hyperbolischer Mannigfaltigkeiten unendlichen Volumens.

Literatur

• Dennis Sullivan: On the ergodic theory at infinity of an arbitrary discrete group of hyperbolic motions. Riemann surfaces and related topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference (State Univ. New York, Stony Brook, N.Y., 1978), pp. 465–496, Ann. of Math. Stud., 97, Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1981.
• Matsuzaki-Taniguchi: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. ISBN 0-19-850062-9 (Kapitel 5.2: The Sullivan rigidity theorem)
• M. Kapovich: Hyperbolic manifolds and discrete groups. Reprint of the 2001 edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2009. ISBN 978-0-8176-4912-8 (Kapitel 8.6: Sullivan rigidity theorem)