Spezifischer Widerstand

Kehrwert der elektrischen Leitfähigkeit
Physikalische Größe
Name spezifischer Widerstand
Formelzeichen
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI Ω·m M·L3·I−2·T−3
Gauß (cgs) s T
esE (cgs) s T
emE (cgs) abΩ·cm L2·T−1
Siehe auch: elektrische Leitfähigkeit

Der spezifische Widerstand (kurz für spezifischer elektrischer Widerstand oder auch Resistivität) ist eine temperaturabhängige Materialkonstante mit dem Formelzeichen (griechisch rho). Er wird vor allem zur Berechnung des elektrischen Widerstandes einer (homogenen) elektrischen Leitung oder einer Widerstands-Geometrie genutzt. Meistens wird der spezifische Widerstand in der Einheit angegeben. Die kohärente SI-Einheit ist .

Der Kehrwert des spezifischen Widerstands ist die elektrische Leitfähigkeit.

Ursache und TemperaturabhängigkeitBearbeiten

Verantwortlich für den spezifischen elektrischen Widerstand in reinen Metallen sind zwei Anteile, die sich gemäß der Matthiessenschen Regel überlagern:

Der temperaturabhängige Anteil am spezifischen Widerstand ist bei allen Leitern in einem jeweils begrenzten Temperaturbereich näherungsweise linear:

 

wobei α der Temperaturkoeffizient, T die Temperatur und T0 eine beliebige Temperatur, z. B. T0 = 293,15 K = 20 °C, bei der der spezifische elektrische Widerstand ρ(T0) bekannt ist (siehe Tabelle unten).

Je nach Vorzeichen des linearen Temperaturkoeffizienten unterscheidet man zwischen Kaltleitern (engl.: positive temperature coefficient of resistance, PTC) und Heißleitern (engl.: negative temperature coefficient of resistance, NTC). Die lineare Temperaturabhängigkeit gilt nur in einem begrenzten Temperaturintervall. Dieses kann bei reinen Metallen vergleichsweise groß sein. Darüber hinaus muss man Korrekturen anbringen (siehe auch: Kondo-Effekt).

Reine Metalle haben einen positiven Temperaturkoeffizienten des spezifischen elektrischen Widerstandes von etwa 0,36 %/K bis über 0,6 %/K. Bei Platin (0,385 %/K) nutzt man das, um Platin-Widerstandsthermometer zu bauen.

Der spezifische elektrische Widerstand von Legierungen ist nur gering von der Temperatur abhängig, hier überwiegt der Anteil der Störstellen. Ausgenutzt wird dies beispielsweise bei Konstantan oder Manganin, um einen besonders geringen Temperaturbeiwert bzw. einen temperaturstabilen Widerstandswert zu erhalten.

Spezifischer Widerstand als TensorBearbeiten

Bei den meisten Materialien ist der elektrische Widerstand richtungsunabhängig (isotrop). Für den spezifischen Widerstand genügt dann eine einfache skalare Größe, also eine Zahl mit Einheit.

Anisotropie beim elektrischen Widerstand findet man bei Einkristallen (oder Vielkristallen mit Vorzugsrichtung) mit weniger als kubischer Symmetrie. Die meisten Metalle haben kubische Kristallstruktur und sind schon daher isotrop. Zusätzlich hat man oft eine viel-kristalline Form ohne ausgeprägte Vorzugsrichtung (Textur). Ein Beispiel für anisotropen spezifischen Widerstand ist Graphit als Einkristall oder mit Vorzugsrichtung. Der spezifische Widerstand ist dann ein Tensor 2. Stufe, der die elektrische Feldstärke   mit der elektrischen Stromdichte   verknüpft.

 

Zusammenhang mit dem elektrischen WiderstandBearbeiten

Der elektrische Widerstand eines Leiters mit einer über seine Länge konstanten Querschnittsfläche (Schnitt senkrecht zur Längsachse eines Körpers) beträgt:

 
Widerstand mit Kontakten an beiden Enden
 

wobei R der elektrische Widerstand, ρ der spezifische Widerstand, l die Länge und A die Querschnittsfläche des Leiters ist.

Folglich kann man   aus der Messung des Widerstandes eines Leiterstückes bekannter Geometrie bestimmen:

 

Die Querschnittsfläche A eines runden Leiters (zum Beispiel eines Drahtes) errechnet sich aus dem Durchmesser d zu:

 

Die Voraussetzung für die Gültigkeit dieser Formel für den elektrischen Widerstand R ist eine konstante Stromdichteverteilung über den Leiterquerschnitt A, das heißt, an jedem Punkt des Leiterquerschnitts ist die Stromdichte J gleich groß. Näherungsweise ist das gegeben, wenn die Länge des Leiters groß im Vergleich zu den Abmessungen seines Querschnitts ist und der Strom ein Gleichstrom oder niederfrequent ist. Bei hohen Frequenzen führen der Skin-Effekt und bei inhomogenen hochfrequenten Magnetfeldern und Geometrien der Proximity-Effekt zu einer inhomogenen Stromdichteverteilung.

Weitere aus dem spezifischen Widerstand ableitbare Kenngrößen sind:

  • der Flächenwiderstand R (Schichtwiderstand einer Widerstandsschicht); Einheit  
  • der Widerstand pro Länge eines Drahtes oder Kabels R/l; Einheit  /m

Einteilung von MaterialienBearbeiten

Für elektrische Leiter wird der spezifische Widerstand statt in  Ω⸱m  oft in der für Drähte anschaulicheren Form  Ω⸱mm2⸱m−1  angegeben. Weiterhin ist auch  Ω⸱cm  anzutreffen.

Es gilt:

1 Ω⸱mm2⸱m−1 = 10−6 Ω⸱m
1 Ω⸱m     = 102 Ω⸱cm

Der spezifische Widerstand eines Materials wird häufig für die Einordnung als Leiter, Halbleiter oder Isolator verwendet. Die Unterscheidung erfolgt anhand des spezifischen Widerstands:[1]

  • Leiter:    ρ ⪅ 102 Ω⸱mm2⸱m−1
  • Halbleiter:  102 Ω⸱mm2⸱m−1ρ ⪅ 1012 Ω⸱mm2⸱m−1
  • Nichtleiter:  ρ ⪆ 1012 Ω⸱mm2⸱m−1

Diese Einteilung ist lediglich als Richtwert zu betrachten und kann in der Literatur auch um bis zu zwei Größenordnungen davon abweichen.[2][3][4][5][6] Deshalb ist eine Einteilung nach der Lage der Fermi-Energie in der Bandstruktur und nach Art und Beweglichkeit der Ladungsträger häufig eindeutiger.

Spezifischer Widerstand verschiedener MaterialienBearbeiten

Spezifischer Widerstand ausgewählter Materialien bei 20 °C
Die Daten hängen erheblich vom Reinheitsgrad und von Defekten im Kristall ab.
Material Spezifischer Widerstand
(Ω · mm2/m)
Linearer Widerstands-
Temperaturkoeffizient
(10−3/K)
Aluminium 0,0265 [7] 3,9
Aluminiumoxid ≈1018 ≈ −23 [8]
Bernstein ≈1022
Blei 0,208 [7] 4,2
Blut ≈1,6  106
≈1,4...1,9  106 (Mensch)[9]
Edelstahl (1.4301, V2A) 0,72 [10]
Eisen 0,10...0,15 5,6
Fettgewebe ≈3,3  107
Germanium (Fremdanteil < 10−9) ≈500 000 [11]
Glas 1016...1021
Glimmer 1015...1018
Gold 0,02214 [7] 3,9
Graphit 2...5 (in Basalebene),
3...10  103 (orthogonal dazu)
Gummi (Hartgummi) (Werkstoff) ≈1019
Holz (trocken) 1010...1016
Kochsalzlösung (10 %) 79 000
Kohlenstoff 10−1...100 (Carbon-Nanotubes)
2...5 (Graphit, in Basalebene)
≈1018 (Diamant)
Konstantan 0,5 0,05
Kupfer (rein, „IACS“) 0,01721 [7][12] 3,9
Kupfer (Elektro-Kabel)[13] 0,0169...0,0175
Kupfersulfatlösung (10 %) 300 000
Magnesium 0,0439
Messing 0,07 1,5
Muskelgewebe 2  106
Nickel 0,0693 [7] 6,7
NiCr8020 (Legierung) 1,32 [14] ≈0,15
Papier 1015...1017
Platin 0,105 [7] 3,8
Polypropylenfolie ≈1011
Porzellan ≈1018
Quarzglas 7,5  1023
Quecksilber 0,9412 (0 °C)[15]
0,961 (25 °C)
0,6836 (−38,5 °C, flüssig)
0,608 (−39,1 °C, fest)
0,86
≈200 bei −39,1 °C
Salzsäure (10 %) ≈15 000
Schwefel ≈1021
Schwefelsäure (10 %) ≈25 000
Silber 0,01587 [7] 3,8
Stahl 0,1...0,2 5,6
Titan ≈0,8
Wasser (reinst, im Vakuum) ≈1012
Wasser (typ. Leitungswasser) ≈107 (abhängig von Wasserhärte)
Wasser (typ. Meerwasser) ≈500 000
Wolfram 0,0528 [7] 4,1
Zinn 0,109 4,5

BeispielBearbeiten

Es sei die Länge eines unbekannten Metalldrahtes  , dessen Querschnitt  , die Testspannung betrage   und der Strom sei zu   gemessen worden.

Gesucht ist der spezifische elektrische Widerstand   des Draht-Materials.

Es gilt

 

Nach   umgestellt, ergibt sich

 

und mit den Werten wird

 

Der so bestimmte spezifische Widerstand des untersuchten Drahtes deutet darauf hin, dass es sich wohl um Kupfer handeln könnte.

LiteraturBearbeiten

Als Standardwerk für tabellarische Daten zum spezifischen (elektrischen) Widerstand empfiehlt sich:

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Siegfried Hunklinger: Festkörperphysik. Oldenbourg Verlag, 2009, ISBN 978-3-486-59045-6, S. 378 (Halbleiter: ρ = 10−4…107 Ω·m).
  2. Karl-Heinrich Grote, Jörg Feldhusen: Dubbel: Taschenbuch für den Maschinenbau. Springer, 2011, ISBN 978-3-642-17305-9, S. V 14 (Halbleiter: ρ = 10−3…108 Ω·m).
  3. Wolfgang Bergmann: Werkstofftechnik. 4. Auflage. Band 2. Hanser Verlag, 2009, ISBN 978-3-446-41711-3, S. 504 (Halbleiter: ρ = 10−5…109 Ω·m).
  4. Peter Kurzweil, Bernhard Frenzel, Florian Gebhard: Physik Formelsammlung: mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer, 2009, ISBN 978-3-8348-0875-2, S. 211 (Halbleiter: ρ = 10−5…107 Ω·m).
  5. Horst Czichos, Manfred Hennecke: Das Ingenieurwissen. mit 337 Tabellen. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20325-4, S. D 61 (Halbleiter: ρ = 10−5…106 Ω·m).
  6. Ekbert Hering, Karl-Heinz Modler: Grundwissen des Ingenieurs. Hanser Verlag, 2007, ISBN 978-3-446-22814-6, S. D 574 (Halbleiter: ρ = 10−4…108 Ω·m).
  7. a b c d e f g h David R. Lide (Hrsg.): CRC Handbook of Chemistry and Physics. 90. Auflage. (Internet-Version: 2010), CRC Press/Taylor and Francis, Boca Raton, FL, Properties of Solids, S. 12-41 – 12-42.
  8. etwa Zehntelung alle 100 K
  9. http://www2.hs-esslingen.de/~johiller/biosignale/ausbreitung.htm
  10. Stainless Steels Chromium-Nickel (Memento vom 17. Februar 2004 im Internet Archive; PDF)
  11. Wilfried Plaßmann, Detlef Schulz (Hrsg.): Handbuch Elektrotechnik: Grundlagen und Anwendungen für Elektrotechniker. Vieweg+Teubner, 5. Aufl., 2009, S. 231.
  12. Spezifikationen des Herstellers AURUBIS: Reinkupfer (100% IACS) = 0,01721 (Memento des Originals vom 28. April 2014 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.aurubis.com
  13. Elektrokupfer E-Cu58 ident. Cu-ETP1, 1.69e-2 bis 1.75e-2, gelegentlich ≈1.9e-2 Ω · mm2/m
  14. Datenblatt einer für Präzisionswiderstände geeigneten Legierung
  15. L F Kozin, S C Hansen, Mercury Handbook, Royal Society of Chemistry 2013, Seite 25