Satz von Young (Fourier-Koeffizienten)

mathematischer Lehrsatz

Der Satz von Young über Fourier-Koeffizienten ist ein klassischer Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Harmonischen Analyse. Er geht auf den englischen Mathematiker William Henry Young zurück und behandelt die Frage, welche Nullfolgen als Folgen von Fourier-Koeffizienten Lebesgue-integrierbarer reeller Funktionen auftreten. Wie der Mathematiker Jürgen Elstrodt in seinem Lehrbuch Maß- und Integrationstheorie anmerkt, gilt diese Frage als ein schwieriges Problem in der Theorie der Fourier-Reihen. Der erwähnte Satz sei einer der schönsten Sätze von Young.[1][2]

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:[1]

Ist   eine konvexe Nullfolge positiver reeller Zahlen,
so ist die daraus gebildete Reihe   die Fourierreihe einer Lebesgue-integrierbaren geraden Funktion,
d.h., es gibt eine Lebesgue-integrierbare gerade Funktion   derart,
dass für   stets die Gleichung   erfüllt ist.

Erläuterungen

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  • In der Folgenlehre benutzt man einen Delta-Operator, welcher so wirkt, dass durch ihn einer Folge   von reellen Zahlen (bzw. einer Folge von komplexen Zahlen oder allgemeiner einer Folge in einer abelschen Gruppe) die Folge der sukzessiven Differenzen zugeordnet wird. Dabei geht   in die neue Folge   über.
  • Die zweifache Anwendung des Delta-Operators auf die Folge   ergibt die weitere Folge  .
  • Man nennt eine Folge reeller Zahlen eine konvexe Folge, wenn für   stets die Ungleichung   erfüllt ist.[3]
  • Die genannte Konvexitätsbedingung bedeutet, dass für   stets die Ungleichung   besteht.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. a b Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 138
  2. Živorad Tomovski: Convergence and integrability for some classes of trigonometric series., Dissertationes Mathematicae 420, S. 1 ff, S. 6
  3. Antoni Zygmund: Trigonometric Series. Vol. I. 1977, S. 93 ff