Satz von Legendre (Diophantische Gleichungen)

mathematischer Satz

In der Zahlentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, ist der Satz von Legendre (englisch Legendre’s theorem) über diophantische Gleichungen ein etwa um das Jahr 1785 von dem Mathematiker Adrien-Marie Legendre (1752–1833) vorgelegter Lehrsatz, der die Lösbarkeit solcher Gleichungen aus ternären quadratischen Formen ohne gemischte Glieder behandelt.[1][2][3]

Formulierung des Legendre'schen SatzesBearbeiten

Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:[1][2][3]

Gegeben seien drei quadratfreie und paarweise teilerfremde ganze Zahlen  .
Dann gilt:
Die diophantische Gleichung
 
ist in ganzen Zahlen   nichttrivial lösbar dann und nur dann , wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
(I)   haben nicht alle dasselbe Vorzeichen.
(II_1)   ist quadratischer Rest  .
(II_2)   ist quadratischer Rest  .
(II_3)   ist quadratischer Rest  .

Anmerkungen und ErläuterungenBearbeiten

  1. Man bezeichnet die oben auftretende Gleichung auch als Legendre'sche Gleichung (englisch Legendre's equation).[4]
  2. Da   stets eine Lösung der Legendre'schen Gleichung liefern (nämlich die sogenannte triviale Lösung), bedeutet die obige Fragestellung nichts anderes als die Frage nach den Bedingungen, unter denen eine nichttriviale Lösung vorliegt, also ein Tripel  , so dass   die Legendre'sche Gleichung erfüllen.[5]
  3. Der Satz von Legendre ist – wie auch der Vier-Quadrate-Satz von Lagrange – einer von mehreren Sätzen der Zahlentheorie, die sich auf den Gitterpunktsatz von Hermann Minkowski (1864–1909) zurückführen lassen.[6][7]
  4. Nach den obigen Bedingungen zu den quadratischen Resten gilt (bei Anwendung des Legendre-Jacobi-Symbols) also  .[8]

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Emil Grosswald: Representations of Integers as Sums of Squares. 1985, S. 66 ff., S. 217
  2. a b Winfried Scharlau, Hans Opolka: From Fermat to Minkowski. 2003, S. 61–63.
  3. a b Harald Scheid: Zahlentheorie. 2003, S. 261–263.
  4. Richard H. Hudson, Kenneth S. Williams: On Legendre's equation ax2 +by2+cz2=0. In: J. Number Theory 16, S. 100–105
  5. Grosswald, op. cit., S. 66
  6. Scheid, op. cit., S. 258 ff.
  7. Scharlau/Opolka, op. cit., S. 197 ff.
  8. Grosswald, op. cit., S. 217