Der Satz von Hewitt, manchmal englisch Hewitt's Stone-Weierstrass theorem genannt, ist ein im Übergangsfeld zwischen den beiden mathematischen Teilgebieten Topologie und Funktionalanalysis gelegener Lehrsatz, der auf einer Arbeit des US-amerikanischen Mathematikers Edwin Hewitt aus dem Jahr 1947 beruht. Er ist eng mit dem Approximationssatz von Stone-Weierstraß verbunden, den er in einem gewissen Sinne umkehrt.[1]

Formulierung des Satzes

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Er lässt sich angeben wie folgt:[2]

Gegeben seien ein vollständig regulärer Hausdorff-Raum   und dazu die Funktionenalgebra   der beschränkten stetigen reellwertigen Funktionen  .
Weiter sei vorausgesetzt, dass eine jede  -Unteralgebra  , welche
1. die konstante Funktion   enthält
und
2. punktetrennend in Bezug auf die Raumpunkte   ist,
in   stets dicht liege.
Dann ist   bereits ein kompakter Raum .

Erläuterungen

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  • Die Funktionenalgebra   ist wie üblich mit der Supremumsnorm   versehen.
  • In   ist   genau dann eine  -Unteralgebra, wenn   ein  -linearer Unterraum von   ist und zudem die Eigenschaft hat, dass für je zwei   und   stets auch die durch punktweise Multiplikation entstehende Funktion   in   liegt.
  • Unter der konstanten Funktion   versteht man  .
  • Dicht-liegen und das damit verknüpfte Konzept der topologischen Abgeschlossenheit innerhalb der Funktionenalgebra   ist im Sinne der vermöge der Supremumsnorm gegebenen Topologie der gleichmäßigen Konvergenz zu verstehen.

Literatur

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  • Bernhard Banaschewski: On the Weierstrass-Stone approximation theorem. In: Fundamenta Mathematicae. Band 44, 1957, S. 249–252 (MR0092931).
  • Jörg Blatter: Hewitt's Stone-Weierstrass theorems for ordered topological spaces in: Functional Analysis (Proc. Brazilian Math. Soc. Sympos., Inst. Mat. Univ. Estad. Campinas, São Paulo, 1974) (= Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. Band 18). Marcel Dekker[A 1], New York 1976, S. 9–25 (MR0644651).
  • Jürgen Heine[A 2]: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0.
  • Edwin Hewitt: Certain generalizations of the Weierstrass approximation theorem. In: Duke Mathematical Journal. Band 14, 1947, S. 419–427 (MR0021662).

Einzelnachweise

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  1. Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. 2011, S. 326–327
  2. Heine, op. cit., S. 326

Anmerkungen

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  1. Die Verlagsgesellschaft Marcel Dekker gab früher Wissenschaftliche Journale und Enzyklopädien heraus. Die Dekker'schen Enzyklopädien werden heute durch CRC Press publiziert. Man vergleiche dazu den Artikel Marcel Dekker in der englischsprachigen Wikipedia!
  2. Prof. Dr. Jürgen Heine lehrte am Institut für Angewandte Mathematik an der Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover. Vgl. auch Eintrag 24756 des Mathematics Genealogy Project!