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Atomorbital

Wellenfunktion eines einzelnen Elektrons in einem stationären Zustand
(Weitergeleitet von S-Orbital)
Darstellung unterschiedlicher Orbitale der ersten und zweiten Elektronenschale.
Obere Reihe: Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichten der Orbitale als Punktwolken.
Untere Reihe: Darstellung von Isoflächen von . Die Isofläche ist jeweils so gewählt, dass sich das Elektron innerhalb des von der Isofläche umschlossenen Volumens mit 90 % Wahrscheinlichkeit aufhält.

Ein Atomorbital ist in den quantenmechanischen Modellen der Atome die räumliche Wellenfunktion eines einzelnen Elektrons in einem quantenmechanischen Zustand, meist in einem stationären Zustand. Sein Formelzeichen ist meist (kleines Phi) oder (kleines Psi). Das Betragsquadrat beschreibt als Dichtefunktion die räumliche Verteilung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit, mit der das Elektron am Ort gefunden werden kann (bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik). Zusammen mit der Angabe, ob der Spin zu einer festen Achse oder zum Bahndrehimpuls des Elektrons parallel oder antiparallel ausgerichtet ist, beschreibt ein Orbital den Elektronenzustand vollständig.

In den älteren Atommodellen nach Niels Bohr (Bohrsches Atommodell, 1913) und Arnold Sommerfeld (Bohr-Sommerfeldsches Atommodell, 1916) beschreibt ein Orbital eine genaue, durch die Quantisierungsregeln ausgewählte Elektronenbahn. Diese Vorstellung wurde in der Quantenmechanik zugunsten einer diffusen Verteilung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons aufgegeben. Das quantenmechanische Atomorbital erstreckt sich für gebundene Elektronen vom Atomkern im Zentrum nach außen bis ins Unendliche, wo die Aufenthaltswahrscheinlichkeit asymptotisch gegen null geht. Der wahrscheinlichste Abstand vom Atomkern ist für das innerste Orbital gleich dem Radius der 1. bohrschen Kreisbahn.

Anschaulich stellt man ein Orbital gewöhnlich durch die Oberfläche des kleinstmöglichen Volumens dar, in dessen Inneren sich das Elektron mit großer (z. B. 90%iger) Wahrscheinlichkeit aufhält (s. Abbildung). Man erhält damit Körper, die ungefähr der Größe und Form der Atome entsprechen, wie sie sich in chemischen Molekülen, kondensierter Materie und der kinetischen Gastheorie bemerkbar machen.

Die gebräuchlichsten Atomorbitale sind die, die sich für das einzige Elektron des Wasserstoffatoms als Lösungen der Schrödingergleichung des Wasserstoffproblems ergeben und 1926 erstmals veröffentlicht wurden. Sie haben verschiedene Formen, die mit bezeichnet werden, wobei der untere Index aus der Hauptquantenzahl  der Bahndrehimpulsquantenzahl  und der magnetischen Quantenzahl  besteht.

Im Orbitalmodell für Atome mit mehreren Elektronen nimmt man an, dass die Elektronen sich unter Berücksichtigung des Pauli-Prinzips auf die Orbitale verteilen. Ein solcher Zustand heißt Elektronenkonfiguration und stellt oft eine brauchbare Näherung für die Struktur der Atomhülle dar, obwohl diese durch zusätzliche Elektronenkorrelationen noch komplizierter ist.

Zur Beschreibung von Elektronen in Molekülen werden Molekülorbitale als Linearkombination von Atomorbitalen gebildet. Elektronen in Festkörpern werden durch Orbitale beschrieben, die die Form von Blochwellenfunktionen haben.

In diesem Artikel wird nur auf gebundene Elektronen in Atomen eingegangen. Eine Vereinfachung des Orbitalmodells ist das Schalenmodell.

Inhaltsverzeichnis

DarstellungBearbeiten

 
Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte des 1s-Orbitals mithilfe einer (sehr feinen) Punktwolke

Da die vollständige graphische Darstellung einer Wellenfunktion   vier Dimensionen benötigte (bzw. fünf Dimensionen, falls  ), ist eine vollständige Darstellung im Dreidimensionalen nicht direkt möglich (aber zum Beispiel unter Zuhilfenahme einer Farbcodierung wie unten in der Tabelle). Wie vom Wasserstoffatom bekannt ist, haben die Eigenfunktionen   der stationären Schrödingergleichung   einen Radialanteil   und einen Winkelanteil  :

 

Diese Anteile können getrennt gezeichnet werden. Häufig zeigen Bilder von Orbitalen jedoch eine Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte   (und damit indirekt der Orbitale  ). Besonders einleuchtend könnte die Wahrscheinlichkeitsdichte als Punktwolke visualisiert werden: Ist die Wahrscheinlichkeitsdichte groß, so werden viele Punkte gezeichnet; ist die Wahrscheinlichkeitsdichte klein, werden wenige Punkte gezeichnet. Da die Wahrscheinlichkeitsdichte jedoch an fast allen Punkten (ausgenommen der Knotenpunkte der Wellenfunktion) im Raum ungleich null ist, kann ein Orbital auf diese Weise dennoch nicht völlig dargestellt werden – da man ja bis ins Unendliche weiterhin Punkte zeichnen müsste. Stattdessen geht man dazu über, Isoflächen gleicher Wahrscheinlichkeitsdichte zu zeichnen, die implizit durch

 

definiert sind. Durch Abtasten verschiedener Winkel   erfährt man etwas über die Form der Isofläche und somit etwas über die „Form des Orbitals“. Die Form des Orbitals wird durch eine Kugelflächenfunktion   vorgegeben. Häufig wird die Konstante so gewählt, dass die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in dem von der Isofläche umschlossenen Raum zu finden, 90 % beträgt.

Nicht selten wird bei der Darstellung einer Isofläche von   die Fläche entsprechend dem Argument von   koloriert (wie in dem Bild des p-Orbitals).

Eine einfache Art der schematischen Darstellung der Besetzung von Atomorbitalen ist die Pauling-Schreibweise.

KlassifikationBearbeiten

Atomorbitale können durch drei Quantenzahlen   festgelegt werden und bieten dann Platz für zwei Elektronen mit entgegengesetztem Spin. Alternativ können Atomorbitale durch vier Quantenzahlen   festgelegt werden und bieten dann Platz für nur jeweils ein Elektron.

Hauptquantenzahl n: SchaleBearbeiten

Die Hauptquantenzahl   bezeichnet die Schale (Bezeichnung auch K-Schale, L-Schale, M-Schale, …), zu der das Orbital gehört. Im bohrschen Atommodell gibt   das Energieniveau an, beginnend mit dem tiefsten, dem Grundzustand  

Je größer  , desto geringer die Bindungsenergie des Elektrons und damit desto größer die Wahrscheinlichkeit, das Elektron weiter entfernt vom Atomkern zu finden. Das gilt auch für Atome mit mehreren Elektronen. Bei Wechselwirkungen zwischen Atomen, die sich nahe kommen, (wie Stößen von Gasmolekülen, Raumerfüllung in kondensierter Materie, chemischen Bindungen) spielen deshalb die Elektronen mit der größten Hauptquantenzahl die wichtigste Rolle (die Elektronen der Valenzschale).

Die Anzahl der  -Orbitale in einer Schale ergibt sich zu   Unter Berücksichtigung des Pauli-Prinzips kann die Schale mit maximal   Elektronen besetzt werden, dann ist sie abgeschlossen. Die entsprechenden Atome gehören zu den Edelgasen.

Neben- oder Bahndrehimpuls-Quantenzahl lBearbeiten

FormBearbeiten

Die Neben- oder Bahndrehimpulsquantenzahl   innerhalb einer Schale beschreibt den Betrag   des Bahndrehimpulses des Elektrons. Mit der Quantenzahl   zusammen wird damit die winkelabhängige „Form“ des Orbitals festgelegt. Sie ist für alle Hauptquantenzahlen (beachte  ) dieselbe.

Statt der Ziffern 0, 1, 2 etc. wird die Nebenquantenzahl in der Literatur meist durch die Buchstaben s, p, d, f, g etc. bezeichnet, abgeleitet aus den ursprünglichen Bezeichnungen für die korrespondierenden Spektrallinien; diese konkrete Bedeutung ist seit langem unwesentlich geworden:

 -Orbital  -Orbitale  -Orbital
Vereinfachte Form eines p-Orbitals  .
Die Färbung steht für das Vorzeichen der Wellenfunktion. Dargestellt ist eine Isofläche von  
Vereinfachte Formen der verschiedenen d-Orbitale (jeweils  ). Für die jeweiligen Orbitale ist eine Isofläche der Wahrscheinlichkeitsdichte   dargestellt. Form eines 4p-Orbitals  .
Die Färbung steht für das Vorzeichen der Wellenfunktion.
Name ehemalige Bedeutung Nebenquantenzahl Form Anzahl  
s-Orbital sharp   kugelsymmetrisch 01
p-Orbital principal   hantelförmig 0003A2
d-Orbital diffuse   gekreuzte Doppelhantel 05
f-Orbital fundamental   rosettenförmig 07
g-OrbitalA1 (alphabetische Fortsetzung)   rosettenförmig 09
h-OrbitalA1 (alphabetische Fortsetzung)   rosettenförmig 11

Anmerkungen:

A1 Kann als angeregter Zustand vorkommen. Für den Grundzustand wird es theoretisch erst für Atome ab der Ordnungszahl 121 erwartet.
A2 Entsprechend den drei Raumachsen.

Die Orbitale charakterisieren streng genommen nur die stationären Elektronen-Wellen in Systemen mit nur einem Elektron (wie z. B. Wasserstoffatom H, Heliumion He+, Lithiumion Li2+ usw.). Da die Form der Orbitale auch in Mehrelektronensystemen in etwa erhalten bleibt, reicht ihre Kenntnis aus, um viele qualitative Fragen zur chemischen Bindung und zum Aufbau von Stoffen zu beantworten.

Dabei ist zu beachten, dass die in der Literatur dargestellten Orbitale zuweilen nicht die Eigenzustände zur magnetischen Quantenzahl   der z-Komponente des Drehimpulsoperators   sind. Z. B. wird von den p-Orbitalen nur der eine Eigenzustand für den Eigenwert   dargestellt und als pz bezeichnet. Die mit px und py bezeichneten Orbitale sind jedoch nicht die entsprechenden Eigenzustände für   sondern sind deren Superpositionen. Sie sind Eigenzustände zu den Operatoren   bzw.   jeweils zu   die aber nicht mit   kommutieren. Für die Schlussfolgerungen ist das kein Problem, solange die entsprechenden Wellenfunktionen orthogonal sind.

UnterschaleBearbeiten

Je größer  , desto größer ist bei festem   die mittlere Entfernung des Elektrons vom Atomkern:

  • Bei   ist das Orbital kugelförmig und hat auch bei   also im Kern, eine nichtverschwindende Aufenthaltswahrscheinlichkeit.
  • Der Maximalwert   entspricht der bohrschen Kreisbahn, hier konzentriert sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei dem im bohrschen Modell berechneten Radius.

Da bei Atomen mit mehreren Elektronen die inneren Elektronen die anziehende Kernladung abschirmen, verringert sich die Bindungsenergie der äußeren Elektronen. Da die mittleren Kernabstände von der Nebenquantenzahl abhängen, ergeben sich zum gleichen   je nach Nebenquantenzahl verschiedene Energieniveaus innerhalb derselben Schale. Diese werden auch als Unterschalen der Hauptschale (zu festem  ) bezeichnet.

Die Anzahl der Unterschalen je Schale ist gleich der Hauptquantenzahl  :

  • Für   gibt es nur die 1s-Schale.
  • Für   sind drei Unterschalen   möglich, die mit 3s, 3p, 3d bezeichnet werden.

Pro Unterschale gibt es   Orbitale (jeweils mit anderer Magnetquantenzahl  , s. folgenden Abschnitt), was auf insgesamt   Orbitale pro Schale führt.

Magnetquantenzahl ml: Neigung des DrehimpulsvektorsBearbeiten

Die Magnetquantenzahl

 

gibt die z-Komponente   des Bahndrehimpulsvektors gegenüber einer (frei gewählten) z-Achse an. Das entspricht anschaulich einem Neigungswinkel

 
  • Bei   liegt der Bahndrehimpuls (etwa) parallel zur Achse,
  • bei   (etwa) antiparallel.

Dass bei gegebenem   genau   verschiedene Werte möglich sind, wird als Richtungsquantelung bezeichnet.

Wenn kein äußeres Feld anliegt, haben die   einzelnen Orbitale einer Unterschale gleiche Energie. Dagegen spaltet im Magnetfeld die Energie innerhalb der Unterschale in   äquidistante Werte auf (Zeeman-Effekt), d. h., jedes einzelne Orbital entspricht dann einem separaten Energieniveau.

Magnetische Spinquantenzahl msBearbeiten

Bei den leichteren Atomen braucht man den Elektronenspin nur in der Form zu berücksichtigen, dass jedes Orbital   von genau einem Elektronenpaar besetzt werden kann, dessen zwei Elektronen nach dem Pauli-Prinzip entgegengesetzte magnetische Spinquantenzahlen aufweisen ( ).

Gesamtdrehimpuls j und magnetische Quantenzahl mjBearbeiten

Zu den schweren Atomen hin wird die Spin-Bahn-Wechselwirkung stärker. Sie bewirkt die Aufspaltung der Energie einer Unterschale mit bestimmten   in zwei Unterschalen, je nach Wert des Gesamtdrehimpulses   Die magnetische Quantenzahl   durchläuft   Werte. Jedes dieser Orbitale kann von einem Elektron besetzt werden, sodass die Gesamtzahl der Plätze gleich bleibt. In der Bezeichnung wird der Wert für   als unterer Index an das Symbol für   angefügt, z. B.  

QuantentheorieBearbeiten

Aus der nichtrelativistischen Quantentheorie ergeben sich die Orbitale wie folgt: Die Wechselwirkung zwischen Elektron und Atomkern wird vereinfacht durch das Coulombpotential beschrieben, der Atomkern als fix angenommen. Der Hamiltonoperator für das Ein-Elektron-System ist

 

mit dem Potential

 .

Da der Hamiltonoperator mit dem Drehimpulsoperator kommutiert, bilden     und   ein vollständiges System kommutierender Observablen. Zu diesen drei Operatoren gibt es also gemeinsame Eigenzustände, die durch die drei zugehörigen Quantenzahlen   bestimmt sind.

Die Schrödingergleichung

 

lässt sich in einen radius- und einen winkelabhängigen Teil zerlegen. Die Eigenfunktionen   sind das Produkt aus einer Kugelflächenfunktion   (Eigenfunktion des Drehimpulsoperators) und einer radialen Funktion  

 

Diese sind bis   in der folgenden Tabelle normiert dargestellt. Dabei bezeichnen   den Bohrschen Radius und   die Kernladungszahl.

Die in der folgenden Tabelle dargestellten Orbitale sind alle um die z-Achse ausgerichtet, weil es sich um Eigenfunktionen des  -Operators handelt. Für Ausrichtung eines Orbitals mit gegebenem Bahndrehimpuls   in eine beliebige andere Richtung muss man Linearkombinationen der Wellenfunktionen zu den verschiedenen   bilden. Die grafische Darstellung zeigt ein Volumen, auf dessen Oberfläche die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte   konstant ist. Die Farben kodieren die komplexe Phase der Wellenfunktion.

Komplexe Wellenfunktionen in wasserstoffähnlichen Atomen
Orbital Wellenfunktion des Orbitals Form des Orbitals   (nicht maßstäblich)
       
1s 1 0 00    
2s 2 0 00    
2p0 2 1 00    
2p-1/+1 2 1 ±1      
3s 3 0 00    
3p0 3 1 00    
3p-1/+1 3 1 ±1      
3d0 3 2 00    
3d-1/+1 3 2 ±1      
3d-2/+2 3 2 ±2      

Natürliches OrbitalBearbeiten

Ein natürliches Orbital ist ein Orbital, das sich nicht als Eigenfunktion eines Hamiltonoperators ergibt, sondern als Eigenfunktion eines Einelektronen-Dichteoperators. Dieser wird aus einer vorgegebenen Vielteilchenwellenfunktion gewonnen, die beispielsweise auch Elektronenkorrelationen enthalten kann und damit über den Rahmen eines Einzelteilchenmodells hinausgeht. Die natürlichen Orbitale ergeben die beste Annäherung an den gegebenen Vielteilchenzustand, die mit einem Einzelteilchenmodell möglich ist.

ZeitabhängigkeitBearbeiten

Werden Orbitale als Eigenfunktionen eines Operators definiert, der zu einer Energie korrespondiert, dann sind diese Orbitale im Rahmen des gewählten Modells stationär. Beispiele hierfür sind die Hartree-Fock-Orbitale als Eigenfunktionen des Fockoperators   und die Kohn-Sham-Orbitale, die Eigenfunktionen des Kohn-Sham-Hamilton-Operators sind. Im Gegensatz dazu sind die sogenannten natürlichen Orbitale, als Eigenfunktionen des reduzierten Einelektronen-Dichteoperators, nicht stationär.

HybridisierungBearbeiten

Einige Symmetrien von chemischen Bindungen scheinen den charakteristischen Formen der Orbitale zu widersprechen. Diese Bindungen werden durch die Bildung von Hybrid-Orbitalen verständlich, die sich bei Anwesenheit von Elektronen mit verschiedenem Bahndrehimpuls bilden können, wenn sie energetisch nahezu gleichwertig sind (siehe oben).

Mehr-Elektronen-WellenfunktionenBearbeiten

Die Interpretation von Orbitalen als Wellenfunktionen je eines Elektrons ist nur bei Einzelelektronensystemen eindeutig möglich. Eine Wellenfunktion für N Elektronen kann dann konstruiert werden, indem man N Orbitale in eine Slater-Determinante einsetzt. Dies garantiert die für Fermionen notwendige Antisymmetrie der gesamten Wellenfunktion, kann aber darüber hinaus gehende Elektronenkorrelationen nicht darstellen. Um auch die Elektron-Elektron-Wechselwirkung näherungsweise zu berücksichtigen, können die Orbitale durch Hartree-Fock-, Kohn-Sham-Rechnungen (siehe: Dichtefunktionaltheorie in der Quantenphysik) oder MCSCF-Rechnungen (MCSCF: Multiconfiguration Self Consistent Field) bestimmt werden. Doch stets bleibt gültig, dass anders gewählte Orbitale, wenn sie linear unabhängige Linearkombinationen der ursprünglichen sind, mathematisch die gleiche Slater-Determinante ergeben, sodass man aus einer gegebenen Mehrteilchen-Wellenfunktion nicht eindeutig zurückschließen kann, welches die einzelnen besetzten Orbitale sind.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Orbitale – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien