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Die Slater-Determinante (nach John C. Slater) ist eine Methode zur Konstruktion der Wellenfunktion eines Mehrteilchensystems als antisymmetrisiertes Produkt von Einteilchenwellenfunktionen (sogenannte Orbitale).[1] Sie wird für die Beschreibung eines Systems aus mehreren gleichartigen Fermionen (wie z. B. Elektronen) verwendet. Das Pauli-Prinzips verlangt die Antisymmetrie der Wellenfunktion eines solchen Systems gegenüber der Vertauschung zweier Teilchen. Wenn in einer Matrix zwei Spalten oder zwei Zeilen vertauscht werden, dann ändert sich das Vorzeichen der Determinante dieser Matrix. Daher lässt sich die geforderte Antisymmetrie durch einen Determinantenansatz berücksichtigen.

Die Slater-Determinante als antisymmetrisiertes Produkt aus N orthonormalen Einelektronenfunktionen stellt die einfachste Näherung der Wellenfunktion eines (fermionischen) Vielteilchensystems dar. Durch Anwendung des Variationsprinzips ergibt sich hieraus die Hartree-Fock-Methode.

Inhaltsverzeichnis

MotivationBearbeiten

Für ein System aus N unterscheidbar angenommenen Elektronen ist ein vollständiges Orthonormalsystem von Zuständen gegeben, ausdrückbar durch die Produktwellenfunktionen aller möglichen Permutationen der Einteilchenzustände. Aus quantenphysikalischer Sicht sind die Teilchen eines Vielteilchensystems gerade nicht unterscheidbar. Dies führt dazu, dass bestimmte Symmetriebedingungen an die dazugehörige Wellenfunktion zu stellen sind: Im Fall von Fermionen muss sie antisymmetrisch unter beliebiger Vertauschung zweier Teilchen sein. Um dies zu gewährleisten, wird – wie im Folgenden gezeigt – die Slater-Determinante aus Einteilchenzuständen geschrieben.

HerleitungsskizzeBearbeiten

Die Wellenfunktion (Eigenfunktion des Vielteilchen-Hamiltonian) ist ein Produkt aus normierten Eigenfunktionen   des (offensichtlich wechselwirkungsfreien) Einteilchen-Hamiltonoperators:

 

Das Funktionsargument entspricht der Ordnungszahl des jeweiligen Elektrons, z. B.  . Zur Erfüllung des Pauli-Prinzips wird der Antisymmetrisierungsoperator   angefügt, d. h.:

 

ErgebnisBearbeiten

Die Slater-Determinante kann wie folgt geschrieben werden:

 

Darin sind nun alle Kombinationen enthalten. Die Normierung der Wellenfunktion wird durch die Fakultät im Nenner gewährleistet. Die Antisymmetrie unter Teilchenvertauschung wird, wie oben schon angesprochen, durch die Realisierung als Determinante automatisch erfüllt.

Für wechselwirkungsfreie Vielteilchensysteme ist dies ein Eigenzustand des Hamiltonian. Dies kann für wechselwirkende Systeme nicht mehr angenommen werden.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • A. Szabo, N. S. Ostlund: Modern quantum chemistry: Introduction to advanced electronic structure theory. 1. Auflage. McGraw-Hill, New York 1989, ISBN 0-07-062739-8.
  • H. Friedrich: Theoretische Atomphysik. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin–Heidelberg 1994, ISBN 978-3-540-58267-0.
  • T. Fließbach: Quantenmechanik: Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-2020-6.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Attila Szabo, Neil S. Ostlund: Modern Quantum Chemistry: Introduction to Advanced Electronic Structure Theory. Courier Corporation, 1996, ISBN 978-0-486-69186-2, S. 50.