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Rechteckfunktion

Die Rechteckfunktion, auch rect-Funktion, ist eine unstetige mathematische Funktion mit folgender Definition:

Alternative Definitionen, welche vor allem im Bereich der Signalverarbeitung üblich sind, legen die Rechteckfunktion vereinfacht fest als: [1]

Inhaltsverzeichnis

AllgemeinesBearbeiten

Die Rechteckfunktion kann auch mit Hilfe der Heaviside-Funktion   ausgedrückt werden als:

 .

Dabei ist   gesetzt.

Die Fourier-Transformation der Rechteckfunktion ergibt die si-Funktion  :

 

Das gilt auch für  . Umgekehrt ist

 .

Hier ist es wichtig, die erste Definition der Rechteckfunktion zu verwenden, für   ist die letzte Gleichung falsch.

Verschiebung und SkalierungBearbeiten

Eine Rechteckfunktion, die bei   zentriert ist und eine Dauer von   hat, wird ausgedrückt durch

 

AbleitungBearbeiten

Die Rechteckfunktion ist als unstetige Funktion weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Allerdings ist eine Distributionenableitung durch die diracsche Delta-Distribution   möglich:

 

Weitere ZusammenhängeBearbeiten

Die Faltung zweier gleicher Rechteckfunktionen ergibt die Dreiecksfunktion, die Integration eine Rampenfunktion. Eine Form mit periodischer Fortsetzung der Rechteckfunktion sind die Rademacherfunktionen.

Die mehrfache Faltung mit   Faltungen

 

ergibt für   mit einer geeigneten Skalierung die Gaußsche Glockenkurve.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Hans Dieter Lüke: Signalübertragung. Grundlagen der digitalen und analogen Nachrichtenübertragungssysteme. 6., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58753-5, S. 2.