Dreiecksfunktion

mathematische Funktion

Die Dreiecksfunktion, auch tri-Funktion, triangle-Funktion oder tent-Funktion, ist eine mathematische Funktion mit folgender Definition:

Dreiecksfunktion
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Sie kann dazu gleichwertig auch als Faltung der Rechteckfunktion mit sich selbst definiert werden, wie es auch in nebenstehender Abbildung anschaulich dargestellt ist:

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Faltung zweier Rechteckfunktionen ergibt die Dreiecksfunktion

Durch einen Parameter kann die Dreiecksfunktion skaliert werden:

Die Dreiecksfunktion findet vor allem im Bereich der Signalverarbeitung zur Darstellung von idealisierten Signalverläufen Anwendung. Sie dient dort neben der Gauß-Funktion, der Heaviside-Funktion und der Rechteckfunktion zur Beschreibung von Elementarsignalen. Technische Anwendungen liegen im Bereich von Optimalfiltern oder bei Fensterfunktionen wie dem Bartlett-Fenster.

Die Fourier-Transformation der Dreiecksfunktion ergibt die quadrierte si-Funktion:

Allgemeine Form Bearbeiten

Im Allgemeinen möchte man die Dreiecksfunktion skalieren. Von Interesse sind hierbei die Streckung in x-Richtung sowie die Höhe an der Spitze. Für die Streckung ist   die halbe Periodendauer, also die Distanz vom Beginn der Dreiecksfunktion bis zum Mittelpunkt  . Die Höhe an der Stelle   ist durch

 

gegeben.

Ableitung Bearbeiten

Die Ableitung der Dreiecksfunktion stellt eine Summe von zwei Rechteckfunktionen   dar:

 

welche sich auch als Summe von drei Sprungfunktionen   darstellen lassen:

 

wobei   die Periodendauer,   den Mittelpunkt und   die Höhe der Dreiecksfunktion darstellen. Der Vorfaktor   tritt daher als Steigung der Dreiecksfunktion in der Ableitung auf.

Dreieckschwingung Bearbeiten

Eine Dreieckschwingung ist im Gegensatz zur hier dargestellten Dreiecksfunktion eine periodische Funktion, die sich durch periodische Fortsetzung des Intervalls   ergibt, im Allgemeinen ergänzt um einen konstanten Offset. Eine Dreieckschwingung im engeren Sinne enthält keinen Gleichanteil, die Minima und Maxima sind also dem Betrage nach gleich.

Die Funktion

 

bzw. die Fourierreihe

 

omega mit   für die Amplitude und   für die Kreisfrequenz erzeugt ein kontinuierliches Dreieckssignal.

Verallgemeinert und mit der Sinusgrundfunktion der Form

 

in Einklang gebracht folgt:

 .

Quelle Bearbeiten

  • Hans Dieter Lüke: Signalübertragung. 6. Auflage. Springer Verlag, 1995, ISBN 3-540-54824-6.