In der Mathematik ist der Rand einer Gruppe ein wichtiges Hilfsmittel der Darstellungstheorie. Darstellungen von Gruppen können häufig mittels ihrer Randabbildungen untersucht werden.

Die hier gegebene allgemeine Definition verallgemeinert den Furstenberg-Poisson-Rand lokalkompakter Gruppen und auch den Rand im Unendlichen hyperbolischer Fundamentalgruppen.

Definition

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Sei   eine topologische Gruppe. Ein G-Raum   mit einem invarianten Lebesgue-Maß   heißt Rand von G, wenn er ein mittelbarer G-Raum ist und die Projektion   auf den ersten oder zweiten Faktor relativ metrisch ergodisch ist.

Existenz

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Jede lokalkompakte Gruppe, die das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, besitzt einen Rand. Er stimmt mit dem Furstenberg-Poisson-Rand eines symmetrischen, aufspannenden Maßes überein.

Beispiele

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Randabbildung

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Definition

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Sei   eine abzählbare Gruppe mit Rand  . Dann gibt es zu jeder Darstellung

 

mit unbeschränktem und Zariski-dichtem Bild in die allgemeine lineare Gruppe über einem lokalen Körper   eine eindeutige messbare,  -äquivariante Abbildung

 

in die Fahnenmannigfaltigkeit  .

Beispiele

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  • Anosov-Darstellungen haben eine stetige Randabbildung.
  • Die Randabbildung der einzigen irreduziblen Darstellung   ist eine von einer hyperkonvexen Kurve erzeugte Einbettung  , deren erzeugende erste Komponente   die Veronese-Einbettung ist.

Literatur

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  • U. Bader, A. Furman: Boundaries, rigidity of representations, and Lyapunov exponents, Proceedings of ICM 2014, Invited Lectures, (2014), 71 – 96.
  • U. Bader, A. Furman: Boundaries, Weyl groups, and Superrigidity, Electron. Res. Announc. Math. Sci., vol 19 (2012), 41 – 48.
  • U. Bader, B. Duchesne, J. Lcureux (2014). Furstenberg Maps for CAT(0)Targets of Finite Telescopic Dimension.