Die Pythagoraszahl eines Körpers ist definiert als das kleinste , so dass sich jede endliche Summe von Quadraten in schon als Summe von Quadraten schreiben lässt.[1]

Definition

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Für einen Körper   sei

 

die Menge der endlichen Quadratsummen, die ungleich Null sind.

Mit

 

bezeichnen wir die Menge der Quadratsummen in  , die höchstens Länge   haben. Offensichtlich gilt   für alle  . Unklar ist dagegen, ob immer ein   existiert, so dass  . Als Pythagoraszahl von   bezeichnen wir die folgende Größe:

 

wobei   genau dann, wenn   für alle   gilt. Es ist stets  .

Die Pythagoraszahl einiger Zahlenkörper

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  1. Nach dem Satz des Pythagoras gibt es für   ein  , so dass  . Damit ist die Pythagoraszahl der reellen Zahlen  . Anders ausgedrückt: Man kann aus jeder Quadratsumme in   die Wurzel ziehen. Es ist wahrscheinlich, dass die Pythagoraszahl ihren Namen aus dieser Überlegung herleitet.
  2. Die Pythagoraszahl der komplexen Zahlen  .
  3. Nach dem Satz von Euler-Lagrange ist die Pythagoraszahl der rationalen Zahlen  , d. h. jede Summe von Quadraten rationaler Zahlen lässt sich schon als Summe von höchstens vier Quadraten schreiben.

Weitere Beispiele und Beweise

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Satz Falls   nicht-reeller Körper ist, (das heißt  ,) lässt sich die Pythagoraszahl von   abschätzen durch die Stufe   von  :

 

Beweis: Siehe   Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper)


Falls   ein nicht-reeller Körper mit positiver Charakteristik ist, gilt ein Lemma aus dem Buch Squares von A. R. Rajwade[2], nach dem für einen beliebigen Körper   mit   gilt, dass   (zum Beweis vgl. Stufe).

Damit gilt für alle nicht-reellen Körper mit positiver Charakteristik, dass  .


Ganz exakt kann man im Fall   werden, wo   eine ungerade Primpotenz ist. Es gilt:

Satz   für alle   wo   prim und   ist.

Beweis: Siehe   Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz)

Die Pythagoraszahl bei Körpererweiterungen der rationalen Zahlen

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Sei   eine endlich erzeugte Körpererweiterung über den rationalen Zahlen, sei weiter   der Transzendenzgrad von   über  .

Unter Verwendung der Milnorschen Vermutung (vgl. K-Theorie: Milnorvermutung), die von Wladimir Wojewodski bewiesen wurde, lässt sich zeigen, dass   für alle   gilt.

Wegen   ist diese Abschätzung scharf für  .

Für   wurde bisher   gezeigt[3]. Vermutlich gilt aber sogar  , was dann wegen   eine scharfe Abschätzung wäre.[4]

Eine ausführliche Darstellung des Beweises von   findet sich in der Arbeit Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern, s. u.

Siehe auch

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Wikibooks: einige Beweise zur Pythagoraszahl – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

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  1. Bröcker L., Über die Pythagoraszahl eines Körpers, Archiv der Mathematik, Birkhäuser Basel, Volume 31, Number 1, Dezember 1978, S. 133–136
  2. A.R. Rajwade, Squares, Cambridge University Press, 1993
  3. Florian Pop, bislang unveröffentlichter Artikel
  4. Y. Pourchet, Sur la representation en somme de carres des polynomes a une indeterminee sur un corps de nombres algebraiques, Acta Arith. 19, 1971