Der Punkt des gleichen Umwegs ist ein besonderer Punkt in einem Dreieck . Dieser Punkt ist dadurch gekennzeichnet, dass der Umweg von über nach ebenso groß ist wie der Umweg von über nach und der Umweg von über nach . Hierbei versteht man unter der Länge des Umwegs die Länge der Strecke, die man zusätzlich zur kürzesten Verbindung zurücklegt und es gilt dementsprechend:[1]

Isoperimetrischer Punkt Q, Inkreismittelpunkt I, Gergonne-Punkt G, Punkt gleichen Umwegs P
gleiche Umwege:
Harmonische Verwandtschaft:
.

Eindeutigkeit

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Der Punkt des gleichen Umwegs hat die Kimberling-Nummer X(176). Er ist der einzige Punkt mit der obigen Eigenschaft, wenn für die Winkel   des Dreiecks   die folgende Ungleichung erfüllt ist:[2]

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Ist die Ungleichung nicht erfüllt, so besitzt auch der isoperimetrische Punkt die Eigenschaft des gleichen Umwegs.

Eigenschaften

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Hierbei steht   für den Flächeninhalt und   für den halben Umfang des Dreiecks  .[3]
 .
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Commons: Punkt des gleichen Umweg – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

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  1. a b Isoperimetric point and equal detour point in der Encyclopedia of Triangle Centers (abgerufen am 7. Februar)
  2. M. Hajja, P. Yff: The isoperimetric point and the point(s) of equal detour in a triangle. In: Journal of Geometry, November 2007, Band 87, Heft 1–2, S. 76–82, doi:10.1007/s00022-007-1906-y
  3. a b c N. Dergiades: The Soddy circles. In: Forum Geometricorum, Band 7, S. 191–197, 2007