Projektive Dimension

homologischer Begriff aus der kommutativen Algebra

Die projektive Dimension ist ein homologischer Begriff aus der kommutativen Algebra. Sie misst, wie weit ein Modul davon entfernt ist, projektiv zu sein. Ein projektiver Modul hat die projektive Dimension Null.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition

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Die projektive Dimension eines Moduls   über einem Ring   ist die kleinste Zahl  , sodass es eine exakte Sequenz

 

mit projektiven Moduln   (also eine projektive Auflösung) gibt, falls es überhaupt eine solche Zahl gibt, ansonsten unendlich.

Die projektive Dimension eines Moduls   über einem Ring   wird (u. a.) mit

 

notiert.

Drei Sätze über die projektive Dimension

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Es gelten folgende Sätze:

Erster Satz

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Ist   ein Modul über einem Ring  , so sind äquivalent:

  •  .
  • Für alle  -Moduln   und alle   ist Extn(M,N)=0.

Zweiter Satz

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Ist   ein endlich erzeugter Modul über einem noetherschem lokalen Ring  , so ist

 

Dabei ist   die Tiefe des Moduls.

Dritter Satz

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Ist

 

eine exakte Sequenz von  -Moduln, hat ein Modul   genau dann eine endliche projektive Dimension, wenn die anderen beiden Moduln eine endliche projektive Dimension haben.

In diesem Fall gilt:

 

Beispiel

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Ist   ein regulärer lokaler Ring mit Restklassenkörper  , so ist

 

Insbesondere gibt es damit Beispiele von Moduln von jeder beliebigen projektiven Dimension.

Globale Dimension

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Ist   ein  -Modul, so wird unter der globalen Dimension (auch: kohomologischen Dimension) die „Zahl“   verstanden mit:

 

Beispiele

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  • Die globale Dimension eines Körpers ist Null.
  • Die globale Dimension eines Dedekindringes ist 1, falls er kein Körper ist.

Charakterisierung regulärer Ringe

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Ein noetherscher lokaler Ring ist genau dann regulär, wenn seine globale Dimension endlich ist. In diesem Fall ist seine globale Dimension gleich seiner Krulldimension.

Daraus folgt insbesondere die Aussage, dass die Lokalisierung lokaler regulärer Ringe wieder regulär ist.

Injektive Dimension

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Analog zur projektiven Dimension wird die injektive Dimension als die kleinste Länge einer injektiven Auflösung definiert.

Literatur

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