Polygammafunktion

mathematische Funktion
(Weitergeleitet von Polygamma-Funktionen)

In der Mathematik sind die Polygammafunktionen eine Reihe spezieller Funktionen, die als die Ableitungen der Funktion definiert sind. Dabei bezeichnet die Gammafunktion und den natürlichen Logarithmus.

Die ersten Polygammafunktionen im Reellen
m = 0   m = 1   m = 2   m = 3   m = 4

Die ersten beiden Polygammafunktionen werden Digammafunktion und Trigammafunktion genannt.

Darstellung der ersten fünf Polygammafunktionen in der komplexen Ebene

Notation

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Die Polygammafunktionen werden mit dem kleinen griechischen Buchstaben Psi   gekennzeichnet. Bei der ersten Polygammafunktion wird der Index meist weggelassen oder als 0 festgelegt; sie wird als Digammafunktion   bezeichnet. Die zweite Polygammafunktion, also die Trigammafunktion, hat das Symbol   (oder seltener  ) und ist die zweite Ableitung von  . Allgemein wird die  -te Polygammafunktion oder Polygammafunktion der Ordnung   mit   oder   bezeichnet und als die  -te Ableitung von   definiert.

Definition und weitere Darstellungen

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Es ist

 

mit der Digammafunktion  . Derartige Ableitungen werden auch als logarithmische Ableitungen von   bezeichnet.

Eine Integraldarstellung ist

 

für   und  

Eigenschaften

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Differenzengleichungen

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Die Polygammafunktionen haben die Differenzengleichungen

 

Reflexionsformel

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Eine weitere wichtige Beziehung lautet

 

Multiplikationsformel

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Die Multiplikationsformel ist für   gegeben durch

 

Zum Fall   also der Digammafunktion, siehe dort.

Reihendarstellungen

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Eine Reihendarstellung der Polygammafunktion lautet

 

wobei   und   eine beliebige komplexe Zahl außer den negativen ganzen Zahlen ist. Die Formel lässt sich einfacher unter Verwendung der hurwitzschen Zetafunktion   schreiben als

 

Die Verallgemeinerung der Polygammafunktionen auf beliebige, nicht-ganze Ordnungen   ist weiter unten angegeben.

Eine weitere Reihendarstellung ist

 

wobei   das Kronecker-Delta bezeichnet, die aus der Zerlegung der Gammafunktion nach dem weierstraßschen Produktsatz folgt.

Die Taylor-Reihe um   ist gegeben durch

 

die für   konvergiert.   bezeichnete dabei die riemannsche Zetafunktion.

Spezielle Werte

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Die Werte der Polygammafunktionen für rationale Argumente lassen sich meist ausdrücken unter Verwendung von Konstanten und Funktionen wie  , Quadratwurzel, Clausen-Funktion  , riemannsche ζ-Funktion, catalansche Konstante   sowie dirichletsche β-Funktion; z. B.

 

Allgemein gilt ferner:

 .

Die m-te Ableitung des Tangens kann ebenfalls mit der Polygammafunktion ausgedrückt werden:

 .

Darüber hinaus haben sich spezielle Werte von Polygammafunktionen als universelle Konstanten immer wieder bei einer geschlossenen Grenzwert-Beschreibung von Reihen oder auch Integralen als nützlich erwiesen, zum Beispiel gilt

 

Verallgemeinerte Polygammafunktion

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Espinosa und Moll haben 2003 eine verallgemeinerte Polygammafunktion   eingeführt, die nun sogar für alle komplexen Werte   definiert ist.[1] Diese hat für   die allgemeine Taylor-Entwicklung

 

gültig im Bereich  .[2] Diese Verallgemeinerung nutzt jedoch nicht fraktionale Infinitesimalrechnung. Ein solcher Ansatz wurde von Grossman gewählt.[3]

Die verallgemeinerte Polygammafunktion erfüllt für   und   die Funktionalgleichung

 

wobei   die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Wegen

 

für ganzzahlige   ist die weiter oben angegebene Differenzengleichung für natürliche   eingeschlossen.

Unter Zuhilfenahme der Hurwitzschen  -Funktion erhält man dann die Beziehung

 

welche die Funktionalgleichung erfüllt.[4]

Als Konsequenz daraus lässt sich die Verdopplungsformel

 

herleiten. Eine Verallgemeinerung davon lautet

 

die ein Äquivalent zur Gaußschen Multiplikationsformel der Gammafunktion darstellt und die Multiplikationsformel als Spezialfall für   enthält.

q-Polygammafunktion

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Die  -Polygammafunktion ist definiert durch[5]

 .

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. O. Espinosa, V. H. Moll: A generalized polygamma function, (arXiv).
  2. O. Espinosa, V. H. Moll: A generalized polygamma function, (arXiv), S. 6–7.
  3. N. Grossman: Polygamma functions of arbitrary order. SIAM J. Math. Anal. 7, 1976, 366–372.
  4. Oliver Espinosa and Victor H. Moll: A Generalized Polygamma Function auf arXiv.org e-Print archive 2003.
  5. Eric W. Weisstein: q-Polygamma Function. In: MathWorld (englisch).