Plücker-Matrix

Charakterisierung einer Geraden im projektiven Raum

Die Plücker-Matrix ist eine spezielle schiefsymmetrische -Matrix, die eine Gerade im projektiven Raum charakterisiert. Die Matrix ist durch die 6 Plücker-Koordinaten mit 4 Freiheitsgraden beschrieben. Benannt sind sie nach dem deutschen Mathematiker Julius Plücker.

Definition

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Eine Gerade im Raum ist definiert durch zwei verschiedene Punkte   und   in homogenen Koordinaten des projektiven Raums. Ihre Plücker-Matrix ist:

 

Wobei die schiefsymmetrische  -Matrix durch die 6 Plücker-Koordinaten

 

mit

 

beschrieben ist. Die Plücker-Koordinaten erfüllen die Graßmann-Plücker-Relation

 

und sind bis auf skalare Vielfache definiert. Jede Plücker-Matrix besitzt lediglich Rang 2 und vier Freiheitsgrade (wie jede Gerade in  ). Sie ist unabhängig von der Wahl der Punkte A und B und ist außerdem eine Verallgemeinerung der Geradengleichung bzw. des Kreuzprodukts für sowohl den Schnitt zweier Geraden, als auch der Verbindungsgeraden durch zwei Punkte in der projektiven Ebene.

Eigenschaften

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Die Plücker-Matrix erlaubt es folgende geometrische Operationen im Matrix-Vektor-Produkt auszudrücken:

  • Ebene enthält Gerade:  
  •   ist der Schnittpunkt der Geraden   mit der Ebene   ('Meet')
  • Punkt liegt auf Gerade:  
  •   ist die gemeinsame Ebene  , die den Punkt   und die Gerade   enthält ('Join').
  • Richtung einer Geraden:   (Anmerkung: Kann auch als Ebene durch den Koordinatenursprung, orthogonal zur Geraden interpretiert werden)
  • Punkt der am dichtesten am Koordinatenursprung liegt:  

Eindeutigkeit

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Zwei beliebige unterschiedliche Punkte auf der Geraden lassen sich durch Linearkombination von   und   finden:

 .

Ihre Plücker-Matrix ist dann:

 

also bis auf ein skalares Vielfaches identisch zu  .

Schnittpunkt mit Ebene

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Der Schnittpunkt einer Geraden im Raum L mit einer Ebene E als Multiplikation mit der Plücker-Matrix

Es sei   eine Ebene mit der Gleichung

 

die die Gerade   nicht enthält. Dann beschreibt das Matrix-Vektor-Produkt der Plückermatrix mit der Ebene einen Punkt

 

der auf der Geraden   liegt, da er eine Linearkombination von   und   ist.   liegt auch auf der Ebene  

 

und muss daher der Schnittpunkt der Gerade und der Ebene sein.

Des Weiteren gilt, dass das Produkt der Plücker-Matrix mit einer Ebene genau dann den Nullvektor ergibt, wenn die Gerade   in der Ebene enthalten ist:

  enthält  

Duale Plücker-Matrix

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Die gemeinsame Ebene G eines Punktes X mit einer Geraden im Raum L als Multiplikation mit der dualen Plücker-Matrix

Im realen projektiven Raum haben Punkte und Ebenen die gleiche Darstellung als homogene 4-Vektoren und die algebraische Beschreibung ihrer Beziehung (Punkt liegt auf Ebene) ist symmetrisch. Durch Vertauschen der Bedeutung von Punkten und Ebenen einer Aussage erhält man daher eine duale Aussage, die ebenfalls wahr ist.

Im Fall der Plücker-Matrix, existiert die duale Darstellung einer Geraden im Raum als Schnitt zweier Ebenen

 

und

 

in homogenen Koordinaten des projektiven Raums. Ihre Plücker-Matrix ist:

 

und

 

beschreibt eine Ebene  , die sowohl den Punkt   als auch die Gerade   enthält.

Beziehung zwischen primalen und dualen Plücker-Matrizen

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Wenn also der Vektor   für eine beliebige Ebene   entweder der Nullvektor ist, oder einen Punkt auf der Geraden darstellt, so muss gelten

 

Also:

 

Folgendes Produkt erfüllt diese Eigenschaften:

 

aufgrund der Graßmann-Plücker-Relation. Mit der Eindeutigkeit der Plücker-Matrix bis auf skalare Vielfache ergeben sich für die primalen Plücker-Koordinaten

 

folgende duale Koordinaten:

 

Beispiel

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Die der  - -Ebene im   entsprechende projektive Gerade im   kann dargestellt werden durch

 

In der projektiven Ebene

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Der 'join’ zweier Punkte in der projektiven Ebene ist die Operation zwei Punkte durch eine Gerade zu verbinden. Die Geradengleichung kann man durch das Kreuzprodukt bestimmen:

 

Dual dazu kann man den 'meet’, also Schnittpunkt zweier Geraden durch das Kreuzprodukt ausdrücken:

 

Schreibt man nun das Kreuzprodukt als Multiplikation mit einer schiefsymmetrischen Matrix, wird der Zusammenhang zur Plückermatrix offensichtlich:

 

und analog  

Literatur

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  • James F. Blinn: A Homogeneous Formulation for Lines in 3 Space. In: Proceedings of the 4th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (= SIGGRAPH '77). ACM, New York, NY, USA 1. Januar 1977, S. 237–241, doi:10.1145/563858.563900 (acm.org [abgerufen am 4. August 2016]).
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