Nichtabelsche Hodge-Korrespondenz

In der Mathematik ist die nichtabelsche Hodge-Korrespondenz eine Korrespondenz zwischen Higgs-Bündeln und den Darstellungen der Fundamentalgruppe einer kompakten Kähler-Mannigfaltigkeit.

Hintergrund

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Sei   eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit mit universeller Überlagerung  . Zu einer Darstellung   hat man ein assoziiertes Vektorbündel   mit einem flachen Zusammenhang  .

Für eine hermitesche Metrik   auf   und eine Zerlegung   in Operatoren vom Typ (1,0) und (0,1) gibt es einen eindeutigen Operator   vom Typ (1,0), so dass   die Metrik   erhält. Die Krümmung von   ist definiert als  . Die Metrik heißt harmonisch wenn  . Nach einem Satz von Donaldson und Corlette ist eine Darstellung   genau dann halbeinfach ist, wenn   eine harmonische Metrik besitzt.

Wenn   ist, dann ist   ein Higgs-Bündel mit Higgs-Feld  . Nach einem Satz von Corlette gilt für harmonische Metriken  , so dass sie also ein Higgs-Bündel geben.

Nichtabelsche Hodge-Korrespondenz

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Die nichtabelsche Hodge-Korrespondenz besagt, dass ein Higgs-Bündel genau dann von einer irreduziblen bzw. halbeinfachen Darstellung kommt, wenn es stabil bzw. polystabil ist.

Dies folgt aus von Hitchin (für Bündel vom Rang 2) und Simpson (im allgemeinen Fall) bewiesenen Sätzen, nach denen

  • ein Higgs-Bündel genau dann eine Hermitesche Yang-Mills-Metrik besitzt, wenn es polystabil ist
  • diese Hermitesche Yang-Mills-Metrik harmonisch ist und deshalb genau dann von einer halbeinfachen Darstellung kommt, wenn die Chern-Klassen   und   verschwinden
  • ein Higgs-Bündel genau dann einen irreduziblen Yang-Mills-Zusammenhang besitzt (und deshalb von einer irreduziblen Darstellung kommt), wenn es stabil ist.

Allgemeine Lie-Gruppen

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Sei   eine kompakte Riemannsche Fläche. Sei   eine zusammenhängende halbeinfache reelle Lie-Gruppe mit maximal kompakter Untergruppe  . Für   bezeichnen wir mit   den Modulraum der reduktiven Darstellungen   mit   und mit   den Modulraum der polystabilen  -Higgs-Bündel mit topologischer Invariante  .

Die nichtabelsche Hodge-Korrespondenz ist ein Homöomorphismus

 .

Literatur

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  • S. Donaldson: Twisted harmonic maps and the self-duality equations. Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser. 55, 127–131 (1987).
  • N. Hitchin: The self-duality equations on a Riemann surface. Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser. 55, 59–126 (1987).
  • K. Corlette: Flat G-bundles with canonical metrics. J. Differ. Geom. 28, No. 3, 361–382 (1988).
  • C. Simpson: Higgs bundles and local systems. Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. 75, 5–95 (1992).