Eine maximalinvariante Statistik ist eine spezielle Abbildung in der mathematischen Statistik. Maximalinvariante Statistiken spielen eine wichtige Rolle bei der Reduktion durch Invarianz und der Konstruktion von optimalen invarianten Schätzern.
Betrachte als Beispiel und . Die Gruppe seien die reellen Zahlen , versehen mit der Addition als Verknüpfung. Für definiere die bijektive, bimessbare Abbildung
.
Hierbei bezeichnet den Einsvektor. Die Abbildung verschiebt also jeden Vektor um entlang der Diagonalen.
Bezeichnet man mit das arithmetische Mittel des Vektors , so ist eine maximalinvariante Statistik gegeben durch
.
Denn das arithmetische Mittel ist verschiebungsäquivariant, erfüllt also
,
woraus sich
ergibt. Also ist invariant. Gilt nun , so ist
,
woraus sich
ergibt. Dies entspricht genau einer Verschiebung von um entlang der Diagonalen. Somit gilt . Also ist maximalinvariant.
den Orbit von , also die Menge aller Elemente, die aus durch Gruppenoperationen hervorgeht. Dann bedeutet die Invarianz von , dass auf einem gegebenen Orbit konstant ist. Sind also , so ist .
Umgekehrt bedeutet das zweite Kriterium in der Definition, dass die Orbits eindeutig durch die Funktionswerte von identifiziert werden können. Die Niveaumengen von T
Maximalinvariante Statistiken sind in dem Sinne maximal, als dass sie alle weiteren invarianten Statistiken erzeugen. Konkret bedeutet dies, dass wenn
eine maximalinvariante Statistik ist und
eine invariante Statistik, so existiert eine Funktion
,
für die
gilt. Jede invariante Statistik ist somit die Komposition einer maximalinvarianten Statistik und einer weiteren Funktion . Die Funktion ist im Allgemeinen jedoch nicht messbar.